Antwort mit KI erzeugt
Aufgabe a)
Um zu zeigen, dass für beliebige Matrizen \( A, B \in M(m \times n, K) \) die Ungleichung \( \text{rg}(A + B) \leq \text{rg}(A) + \text{rg}(B) \) gilt, betrachten wir die Definition des Rangs und einige lineare Algebra Konzepte.
Der Rang einer Matrix ist die Dimension des Bildes der Matrix. Formuliert als lineare Abbildungen, entspricht dies der Dimension des Spannraums der Spaltenvektoren der Matrix.
Sei \( \text{rg}(A) = r_A \) und \( \text{rg}(B) = r_B \).
1. Betrachten wir die Summe \( A + B \). Die Spaltenvektoren von \( A+B \) sind jeweils die Summe der entsprechenden Spaltenvektoren von \( A \) und \( B \).
2. Sei \( S \) der Spannraum der Spaltenvektoren von \( A \), und \( T \) der Spannraum der Spaltenvektoren von \( B \). Dann ist \( \text{dim}(S) = r_A \) und \( \text{dim}(T) = r_B \).
3. Der Spannraum der Spaltenvektoren von \( A + B \) ist in \( S + T \) enthalten, wobei \( S + T \) die Menge aller Vektoren ist, die als Linearkombinationen von Vektoren in \( S \) und \( T \) geschrieben werden können.
4. Die Dimension des Spannraums der Spaltenvektoren von \( A + B \) (also der Rang von \( A + B \)) ist daher höchstens die Dimension von \( S + T \), also:
\(
\text{dim}(S+T) \leq \text{dim}(S) + \text{dim}(T)
\)
5. Die Dimension von \( S \) ist \( r_A \) und die Dimension von \( T \) ist \( r_B \). Somit erhalten wir:
\(
\text{rg}(A + B) \leq r_A + r_B
\)
Daher ist bewiesen, dass \( \text{rg}(A + B) \leq \text{rg}(A) + \text{rg}(B) \).
Aufgabe b)
Um zu zeigen, dass \( \text{rg}(A + B) \geq |\text{rg}(A) - \text{rg}(B)| \) gilt, verwenden wir die Dimensionsformel für Summen und Durchschnitte von Unterräumen.
1. Sei wieder \( S = \text{Bild}(A) \) und \( T = \text{Bild}(B) \).
2. Dann gilt die Dimensionsformel:
\(
\text{dim}(S+T) = \text{dim}(S) + \text{dim}(T) - \text{dim}(S \cap T)
\)
3. Die Dimension von \( S+T \) ist eine obere Schranke für \( \text{rg}(A+B) \), wie in Teil a) gezeigt:
\(
\text{rg}(A+B) \leq \text{dim}(S+T)
\)
4. Da \( \text{dim}(S) = \text{rg}(A) = r_A \) und \( \text{dim}(T) = \text{rg}(B) = r_B \), gilt:
\(
\text{dim}(S+T) = r_A + r_B - \text{dim}(S \cap T)
\)
5. Gleichzeitig ist die Dimension des Schnittes \( S \cap T \) eine untere Schranke, weil:
\(
\text{dim}(S \cap T) \leq \min(\text{dim}(S), \text{dim}(T))
\)
6. Setzt man das in die Dimensionsformel ein:
\(
\text{dim}(S+T) \geq \max(\text{dim}(S), \text{dim}(T))
\)
7. Also gilt:
\(
\text{rg}(A+B) \geq \text{dim}(S) + \text{dim}(T) - \text{dim}(S \cap T)
\)
8. Daraus folgt:
\(
\text{rg}(A+B) \geq r_A + r_B - \text{dim}(S \cap T)
\)
9. Und weil \( \text{dim}(S \cap T) \leq \min(r_A, r_B) \), folgt:
\(
\text{rg}(A+B) \geq |r_A - r_B|
\)
Somit ist bewiesen, dass \( \text{rg}(A + B) \geq |\text{rg}(A) - \text{rg}(B)| \).
