Flächeninhalt Parallelogramm

Question

Aufgabe:

Gegeben sind die Punkte A(2, −14, 5), B(11, −2, −10) und C (−10, −5, −10).

Problem/Ansatz:

Hallo, ich habe bisher OD ausgerechnet durch OA+AB = (-19.-17.5)

Nun habe ich probiert den Flächeninhalt auszurechnen per Kreuzprodukt: AB X BC und habe 225 wurzel 3 raus.

wenn ich allerdings AB X AC rechne komme ich irgendwie auf einen anderen Flächeninhalt, müsste es nicht aber auf das selbe Ergebnis hinauslaufen? Oder hab ich irgendwo ein Fehler?

Vielen Dank für Vorschläge :)

Answer 1

Aloha :)

Wenn du die Fläche mit dem Kreuz-Produkt ausrechnen möchtest, sollten streng genommen beide Vektoren denselben Startpunkt haben. Bei \(\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\) ist dies der Fall, beide Vektoren starten beim Punkt \(A\). Bei \(\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{BC}\) ist dies nicht der Fall. Trotzdem kommt bei einem Parallelogramm dasselbe raus, weil \(\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}\) ist. Die Fläche ist:

$$F=\left|\left(\begin{array}{c}9\\12\\-15\end{array}\right)\times\left(\begin{array}{c}-12\\9\\-15\end{array}\right)\right|=\left|\left(\begin{array}{c}-45\\315\\225\end{array}\right)\right|=\sqrt{151\,875}=225\sqrt3$$

Beachte bei dir: \(\overrightarrow{0D}=\overrightarrow{0A}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{0A}+\overrightarrow{BC}\)

Comments

Ok vielen dank jetzt macht es sinn für mich :)

---

Bei AB×BC ist dies nicht der Fall. Trotzdem kommt bei einem Parallelogramm dasselbe raus, weil AD=BC ist.

@Tschaka:

Widersprichst du dir da nicht?

AB×BC=AB×AD, also haben beide denselben Startpunkt.

---

@Monthy :)

Ja, genau das wollte ich eigentlich ausdrücken. Weil \(AD=BC\) ist, kommt dasselbe raus, obwohl der Startpunkt scheinbar ein anderer ist, ist es doch derselbe Vektor.

Entschuldige, wenn ich das nicht klar genug dargestellt habe.

---

@Tschaka

Du brauchst dich doch nicht zu entschuldigen. Ich hatte nur den Eindruck, dass dein ursprünglicher Text falsch interpretiert werden könnte,

Answer 2

A(2, −14, 5), B(11, −2, −10) und C (−10, −5, −10).

Es sollte eigentlich das gleiche heraus kommen. Ich rechne das mal vor.

AB = [9, 12, -15]

AC = [-12, 9, -15]

BC = [-21, -3, 0]

|AB ⨯ AC| = |[9, 12, -15] ⨯ [-12, 9, -15]| = 225·√3

|AB ⨯ BC| = |[9, 12, -15] ⨯ [-21, -3, 0]| = 225·√3

Wo hast du denn eine Abweichung?

Answer 3

Ja, es muss das selbe herauskommen. Du hast also in einer deiner Betragsberechnungen einen Fehler.

Comments

Ich finde nur mein Fehler nicht... hab jetzt beide Kreuzprodukte mehrmals auch per Online-Rechner gerechnet also Kann es eig. nur an einen Vektor liegen aber ich dächte mein Vektor OD stimmt?

---

Kann es eig. nur an einen Vektor liegen aber ich dächte mein Vektor OD stimmt?

Was hat das damit zu tun? In keinem deiner beiden Vektorprodukte AB X BC bzw. 
AB X AC kommen die Koordinaten von D zur Anwendung.

Hättest du deine beiden Rechnungen mal eingestellt, wäre der Fehler längst gefunden.