Allgemeine Frage zur Kombinatorik

Question

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Ich hab eine Frage zur Kombinatorik.

Kurze Zusammenfassung:

Die Permutation wendet man an, wenn man n Elemente und n Plätze hat(Es gibt für "ohne Wiederholung" eine Formel und für "mit Wiederholung" eine Formel).

Die Kombination wendet man an, wenn man n Elemente und k Plätze hat und die Reihenfolge egal ist. (Es gibt für ohne Wiederholung eine Formel und für "mit Wiederholung" eine Formel).

Die Variation wendet man an, wenn man n Elemente und k Plätze hat. Aber die Reihenfolge wichtig ist bzw. zu berücksichtigen ist! (Es gibt für "ohne Wiederholung" eine Formel und für "mit Wiederholung" eine Formel).

Ich hoffe meine Zusammenfassung stimmt soweit. Wenn nicht bitte sagen!

1. Ich verstehe überhauptn nicht, wie das mit der Reihenfolge gemeint ist. Kann mir da wer ein Bsp sagen, wo die Reihenfolge egal ist und wo sie nicht egal ist?

2. Wird bei der Permutation die Reihenfolge berücksichtigt?

mfg

Integraluss

Answer 1

Bei den Permutationen gibt es eigentlich keine Formel mit Wiederholungen. Unter den Permutationen versteht man die Anzahl Anordungen einer n-elementigen Menge.

Darunter können sich aber auch nicht unterscheidbare Elemente befinden.

Z.B. die Anordnungen von Buchstaben im Wort

MATHE - Wieviele Anordnungen gibt es 5! = 120

ANANAS - Wie viele Anordnungen gibt es 6!/(3!*2!) = 60

Bei den Permutationen wird immer die Reihenfolge berücksichtigt. Ansonsten gebe es immer nur eine Anordnung.


Was bedeutet die Reihenfolge.

Beim Pferderennen ist es nicht egal in welcher Reihenfolge die ersten 3 Pferde ins Ziel laufen. Hier unterscheidet man die Reihenfolgen.

Beim Lotto ist es so das die Reihenfolge in der die Zahlen gezogen werden egal ist. Hier unterscheidet man die Reihenfolgen nicht.

Comments

Danke, aber ich hab da eine Frage zu einem Beispiel:

Bsp: Eine Lieferung von 20 Elektrogeräten enthält 3 fehlerhafte Geräte. Man entnimmt dieser Lieferung eine Stichprobe vom Umfang 4.

a) Auf wie viele verschiedene Arten kann eine solche Stichprobe entnommen werden.

b) Wie viele dieser Arten enthalten genau ein fehlerhaftes Gerät?

 

zu a.) Also hier muss man die Kombinatorik verwenden. Da man ja wissen will wv Arten von Stichproben ich machen kann. Ich habe also 20 Elemente und 4 Plätze. Die Reihenfolge muss man hier ja nicht berücksichtigen, weils ja egal ist bei den Elektrogeräten.

 

zu b) Das verstehe ich überhaupt nicht. Was ist damit gemeint? Warum rechnent man das so, wie auf meinem Bild?

 

Am besten du erklärst mir bitte auch noch mals a) und b), sodass ich es wirklich verstehe.

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zu a.) Also hier muss man die Kombinatorik verwenden. Da man ja wissen will wv Arten von Stichproben ich machen kann. Ich habe also 20 Elemente und 4 Plätze. Die Reihenfolge muss man hier ja nicht berücksichtigen, weils ja egal ist bei den Elektrogeräten.

Ja genau. Die Reihenfolge in der gezogen wird spielt keine Rolle. Weiterhin ziehst du ohne zurücklegen also ohne Wiederholung.

 

b) Wie viele dieser Arten enthalten genau ein fehlerhaftes Gerät?

(3 über 1) * (17 über 3)

Wir wollen genau 1 Element von den 3 defekten wählen und genau 3 Elemente von den 17 heilen. 

(3 über 1) * (17 über 3) = 3 * 17 * 16 * 15 / 3! = 2040

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Danke.

Ich verstehe es leider nicht so wirklich. Was berechnet man jetzt bei (3 über 1)? 3 Elemente sind das und ein Platz. Warum macht man das gerade so?


Wieso multipliziert man bitte (17 über 3) mit (3 über 1)? Wie kommt man das drauf, dass verstehe ich nicht.


Ich hoffe du kannst mir weiterhelfen. Danke.

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(n über k) ist die Anzahl Möglichkeiten aus n Elementen genau k ohne zurücklegen und ohne Berücksichtigung der Reihenfolge auszuwählen.

Also

(3 über 1). Nehmen wir mal an du darfst dir unter den ersten 3 Harry-Potter büchern eines frei auswählen. Wie viel Möglichkeiten hast du. Nach (3 über 1) sind es 3 Möglichkeiten.

Wie viel Möglichkeiten hast du unter den 3 Büchern dir 2 auszuwählen. Achtung. Ohne Berücksichtigung der Reihenfolge ergibt das 1,2; 1,3; 2,3 also 3 Möglichkeiten. Zu berechnen mit (3 über 2) = 3!/(2! * 1!) = 3.

Man erkennt hier auch die Symmetrie. Statt dir 2 auszuwählen hättest du auch eines auswählen können das du nicht nimmst. Dafür hast du ebenfalls 3 Möglichkeiten.

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Danke.

Und wie läuft das jetzt ab auf mein Bsp bezogen? Wir müssen doch herausfinden wie viele Arten ein Fehlerhaftes Gerät enthalten.


Und dazu berechnet man sich wie viele Möglichkeiten es gibt, um 17(heile) geräte rauszuholen(3 Plätze) und wie viele möglichkeite es gibt um nur 3 kaputte rauszuholen(also wenn man nur 3 kaputte hat und einen platz).


Leider verstehe ich nicht, warum man da bei den 17 Geräten auf nur 3 Plätze kommt. Warum macht man nicht (17 über 4)?


Wie kommt man außerdem auch auf (3 über 1)? Und dann multipliziert man diese 2 Sachen. Ich verstehe den Sinn dahinter nicht :(.

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Du hast doch insgesamt eine Stichprobe von 4 Geräten. Und wenn ein Gerät davon defekt ist können nur 3 heil sein.

Also du hast einen Haufen mit 3 defekten Teilen und einen Haufen mit 17 heilen teilen.
Wie viele Möglichkeiten hast du aus den 3 Teilen ein defektes zu ziehen

(3 über 1) = 3

Wie viel Möglichkeiten hast du aus dem Haufen mit 17 Teilen dir 3 herauszusuchen?

(17 über 3) = 17 * 16 * 15 / 3! = 680

Wie viele Möglichkeiten hat man beides nacheinander zu tun ?
3 * 680 = 2040

Erinnere dich daran wie viele Möglichkeiten du hast dich einzukleiden wenn du 3 T-Shirts und 680 Hosen hast :-)

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Ah ok danke!

Nun ist es mir klar. Ich hätte da noch ein kurzes Bsp:

In einer Schublade befinden sich 4 schwarze, 6 graue und 2 braune einzelne Socken.

a) Wie viele Möglichkeiten gibt es ein beliebiges Paar Socken im Dunklen zu ziehen?

b) Wie viele Möglichkeiten gibt es ein gleichfarbiges Paar im Dunkeln zu ziehen?

 

Zu a): Man hat also hier 12 Elemente und 2 Plätze(da man ja 2 zieht). Die Reihenfolge wird nicht berücksichtigt, also Kombination.

 

zu b): Naja hier muss man ja eig. die socken nach Farbe sortieren und jede in eine einzelne Schublade tun oder? Weil sonst kann man ja nie 2 rausgreifen.

Naja ich verstehe nicht, warum das man hier Kombination anwenden von den einzelnen Socken und dann diese addiert. Ich hoffe du kannst es mir nochomals erklären :).

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Bitte das nächste mal eigenständige Aufgaben auch immer als eigenständige Frage stellen.

In einer Schublade befinden sich 4 schwarze, 6 graue und 2 braune einzelne Socken.

a) Wie viele Möglichkeiten gibt es ein beliebiges Paar Socken im Dunklen zu ziehen?

Wenn ich die schwarzen Socken unterscheiden kann dann

(12 über 2) = 12 * 11 / 2 = 66 Möglichkeiten

Wenn ich die schwarzen untereinander nicht unterscheiden kann

ss, sg, sb, gg, gb, bb dann sind das 6 Möglichkeiten.

b) Wie viele Möglichkeiten gibt es ein gleichfarbiges Paar im Dunkeln zu ziehen?

(4 über 2) + (6 über 2) + (2 über 2) = 4*3/2 + 6*5/2 + 1 = 22 Möglichkeiten

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Ok, mache ich.

"Wenn ich die schwarzen untereinander nicht unterscheiden kann

ss, sg, sb, gg, gb, bb dann sind das 6 Möglichkeiten."

Diesen Satz verstehe ich nicht. Was willst du mir damit sagen? In der Aufgabe steht doch nix mit "unterschiedlich"?

b) Will doch wissen wie viele Möglichkeiten es gibt ein gleichfarbiges Paar im Dunkeln zu ziehen.


Aber ich verstehe nicht, wie man auf (4 über 2) oder (6 über 2) kommt.

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(4 über 2) sind die Möglichkeiten aus 4 schwarzen Socken 2 Socken zu ziehen (also ein schwarzes paar)

(6 über 2) sind die Möglichkeiten aus 6 grauen Socken genau 2 zu ziehen (also ein graues Paar)

Nun tut man bei dieser Auswahl aber so als ob ich die schwarzen und grauen Socken untereinander doch unterscheiden könnte. Das wird benötigt um später die Wahrscheinlichkeiten zu berechnen.

Denn wenn man die schwarzen, grauen und braunen Socken nicht unterscheiden könnte gebe es nur 3 Möglichkeiten für ein Paar. Nämlich (schwarz, schwarz), (grau, grau) oder (braun, braun).