Zeigen Sie, dass das Gleichheitszeichen eine Äquivalenzrelation ist.

Question

 

Wir sollen zeigen, dass das Gleichheitszeichen eine Äquivalenzrelation darstellt.

Ich weiß, dass ich dazu beweisen muss, dass Reflexivität, Symmetrie und Transitivität gelten. Und wenn ich mir konkrete Zahlenbeispiele überlege, so kann cih auch definitiv sagen, dass diese drei Kriterien erfüllt sind.

 

Aber wie zeige ich das allgemein?

 

Bei der Reflexivität hatte ich folgende Idee:

zu zeigen: a=a

Annahme: a>a

⇒ V_(t∈ℕ) a·t=a

⇒ t=1

⇒a=a

 

Aber bei der Symmetrie und der Transitivität habe ich leider keine Idee...

 

Vielen Dank für all eure Hilfe!

Answer 1

zur Transitivität: Sei  a = b  und  b = c. Dann ist  a - b = 0  und  b - c = 0. Addition liefert
(a - b) + (b - c) = 0 + 0 ⇒ a - c = 0 ⇒ a = c.
Zur Symmetrie: Sei  a = b. Dann ist  a - b = 0 = b - a, also  b = a.