Zeigen Sie das die eine Äquivalenzrelation ist.

Question

Auf der Menge R² definieren wir die Relation (x,y)∼(x′,y′):⇔y=y′ ∧ ∃a∈R:x′ =x+ay

(i) Zeigen Sie das die eine Äquivalenzrelation ist.

(ii) Ist die Menge R²/ ∼ endlich? Falls ja, geben Sie alle Elemente an. Falls nein, begründen Sie, warum dies nicht der Fall ist.

Bräuchte einen Ansatz, das ist mir irgendwie zu abstrakt.. :/

Answer 1

Bei (i) must du drei Eigenschaften zeigen: Reflexiv, Symmetrie und Transitivität. Ich mache mal die Reflexivität vor:

Sei \((x,y)\in \mathbb{R^2}\) beliebig.

Dann gilt \(y=y\) und mit \(a=0\) hat man \(x=x+a\cdot y=x+0\cdot y=x\). Damit ist also für alle \((x,y)\in \mathbb{R^2}\) die Eigenschaft \((x,y)∼(x,y)\) erfüllt.

Und dieser Art und Weise kann man nun auch die zwei anderen Eigenschaften zeigen.