R ◦ R = {(x, y) | es existiert ein z mit (x, z) ∈ R und (z, y) ∈ R}. Zeigen sie das R ◦ R Äquivalenzrelation ist

Question

Sei R eine Äquivalenzrelation. Die Relation R ◦ R bezeichnet die folgende Relation:

 R ◦ R = {(x, y) | es existiert ein z mit (x, z) ∈ R und (z, y) ∈ R}.

Zeigen Sie, dass auch R ◦ R eine Äquivalenzrelation ist.

Jemand eine ahnung?

Answer 1

Prüfe ob R ◦ R reflexiv, symmetrisch und transitiv ist.

Comments

Und wie mach ich des bei der aufgabe

sry bin noch nich so ganz vertraut mit dem beweisen von den 3 sachen

Answer 2

Man muss hier die drei Eigenschaften der Äquivalenzrelation nachprüfen:

$$a)\ (x,x) \in R \Rightarrow (x,x) \in R\circ R$$ $$b)\ (x,y) \in R\circ R \Leftrightarrow (y,x) \in R \circ R$$ $$c)\ ((x,y) \in R \circ R \wedge (y,z) \in R\circ R) \Rightarrow (x,z) \in R\circ R$$.

a) Sei (x,x) in R. Dann ist (x,x) auch in R o R, da für z=x (z,x) in R und (x,z) in R.

b) Sei (x,y) in R o R. Dann gibt es ein z, sodass (x,z) in R und (z,y) in R. Weil aber R schon eine Äquivalenzrelation ist, kann man genausogut sagen, (z,x) in R und (y,z) in R, aber das heißt, dass (y,x) in R o R ist.

c) Hier nenne ich das z in der Mengendefinition s für das Paar (x,y) und t für das Paar (y,z).

Seien (x,y), (y,z) in R o R. Dann gibt es ein s und ein t, sodass (x,s) in R, (s,y) in R, (y,t) in R und (t,z) in R. Da aber R eine Äquivalenzrelation ist, gilt: $$x\sim s\sim y\sim t\sim z \Rightarrow x\sim z,$$ oder genauer: Aus (x,s) und (s,y) in R folgt, dass (x,y) in R, aus (x,y) und (y,t) in R folgt (x,t) in R und aus (x,t) in R und (t,z) in R folgt (x,z) in R o R.

Comments

WoW danke ich glaub ich habs kapiert echt gute erklärung danke :)