Zeigen Sie, dass R eine Äquivalenzrelation ist.: R = {(a, b) ∈ Z × Z : 6|a − b}

Question

Aufgabe:
Es sei durch \( R=\{(a, b) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}: 6 \mid a-b\} \) eine Relation auf \( \mathbb{Z} \) definiert.

a) Zeigen Sie, dass \( R \) eine Äquivalenzrelation ist.

b) Wie sehen die Äquivalenzklassen von \( R \) aus? Nenne Sie für jede Äquivalenzklasse zwei unterschiedliche Vertreter.

Ansatz:

Ich habe schon einige Lösungsansätze erarbeitet ,von denen ich denke, dass die korrekt sind, allerdings nicht besonders formal, da würde ich einfach mal um Hilfe bitten, wie ich das ganze korrekt formal aufschreiben kann.

Also erstmal zu a)

Reflexivität: a-a = 0 => durch 6 teilbar - erfüllt-

Symmetrie: wenn (a-b) durch 6 teilbar ist, dann ist auch (b-a) durch 6 teilbar. -erfüllt-

Transitivität: Wenn (a-b) und (b-c) durch 6 teilbar sind, dann ist auch (a-c) durch 6 teilbar, da die Summer zweier durch 6 teilbarer Zahlen auch durch 6 teilbar ist.

Also hier würde ich Euch bitten 1) mal zu prüfen, ob diese Annahmen so richtig sind, und 2) wie kann ich das formal aufschreiben?

Müsste eig. mit der Definition der Teilbarkeit klappen, oder? Aber irgendwie kriege ich das nicht ganz hin.

zu b)

Es müsste wohl 6 Äquivalenzklassen geben;

[1] =  {(a, b) ∈ Z × Z : 6|a − b} = {6,12,18,24,....}

[2] =  {(a, b) ∈ Z × Z : 6|a − b} = {7,13,19,25,....}

[3] =  {(a, b) ∈ Z × Z : 6|a − b} = {8,14,20,26,....}

.....bis zur 6. Klasse


[6] =  {(a, b) ∈ Z × Z : 6|a − b} = {11,17,23,29,....}

Ist das korrekt? Und kann ich das so aufschreiben, oder geht das formaler?

Answer 1

Fibou, bzw. weißt du, was er bei der b) mit ''für jede Äquivalenztreffer unterschiedliche Vertreter nennen'' meint.

(bin im selben Kurs wie du)

Comments

[2] =  {(a, b) ∈ Z × Z : 6|a − b} = {7,13,19,25,....}

Das hier ist ja eine der 6 Klassen. Und ich denke, wenn ich hier einfach 7 und 13 nenne sind dies 2 Vertreter der Klasse.

Schau dir mal Bemerkung 1.115 an, falls du das Skript hast ^^