M_{n} := {(a, b) ∈ Z × Z | ∃c ∈ Z : nc = b − a} n ∈ N . Äquivalenzrelation beweisen

Question

Aufgabe:

M_n := {(a, b) ∈ Z × Z | ∃c ∈ Z : nc = b − a}

n ∈ N

Problem/Ansatz:

Mein bisheriger Ansatz zum Beweis der Äquivalenzrelation sieht folgendermaßen aus:

Ich hoffe die Beweisführung stimmt soweit...

Nun stellt sich mir die Frage, wie berechne bzw. zeige ich die Anzahl der Äquivalenzklassen in diesem Beispiel?

Sind es 2 Klassen? (Gerade und ungerade Zahlen?)

Answer 1

Das hängt sehr von dem n ab. Zwei Zahlen stehen doch in der Relation,

wenn sie sich nur um ein Vielfaches von n unterscheiden.

Also wenn z.B. n=5 ist, dann sind in der Relation (0;5) , (0;10) , (5;10) , (10;30) etc.

Also bilden alle, die selber Vielfache von 5 sind eine Klasse.

Dann sind in einer anderen Klasse z.B. (1;6) und (1;11) und (6,11) und (21;31) etc, also alle, die

genau einen größer sind als die Vielfachen von 5.

Eine dritte Klasse enthält die, die genau um 2 größer sind als die Vielfachen von 5

dann die um 3 größer sind ... und

dann die um 4 größer sind ...

Alle die genau um 5 größer sind als die Vielfachen von 5 , sind selber Vielfache von 5 also wieder in

der ersten Klasse.

Es gibt also 5 verschiedene Klassen.   Allgemein also immer n Klassen.

Den Nachweis der Äquivalenzrelation würde ich auch noch genauer auf die

entsprechenden Definitionen beziehen.

Answer 2

Sind es 2 Klassen? (Gerade und ungerade Zahlen?)

Das ist Unfug. Genau wie dein "Beweis". In der Aufgabenstellung kommen keinerlei konkrete Zahlen vor.

Was soll dann so etwas konkretes wie "20=20"?

Zurück zur Aufgabe: Zwei Zahlen a und b stehen in Relation zueinander, wenn ihre Differenz ein ganzzahliges Vielfaches von n ist.

Wenn beispielsweise n=7 WÄRE:

Dann würde die Zahl 2 in Relation zu den Zahlen 9, 16, 23, 30; aber auch zu -5, -12, -19, ... stehen (und all diese Zahlen gehörten zur selben Äquivalenzklasse).

Wenn (immer noch)  n=7 WÄRE:
Dann würde die Zahl 3 in Relation zu den Zahlen 10, 17, 24, 31; aber auch zu -2, -11, -18, ... stehen (und all diese Zahlen gehörten zur selben Äquivalenzklasse).

Es würde dann insgesamt 7 Äquivalenzklassen geben (Zahlen in VERSCHIEDENEN Äquivalenzklassen würden sich in ihrem Rest bei Teilung durch 7 unterscheiden).

Nun ist n allerdings nicht 7, sondern n ist eine beliebige natürliche Zahl.

Wie viele Äquivalenzklassen gibt es für ein beliebiges n?