Äquivalenzrelation zeigen. R := {(a, b) ∈ G × G | Es existiert ein g ∈ G mit der Eigenschaft b = g−1• a • g}.

Question

Sei (G,•) eine Gruppe und sei

R := {(a, b) ∈ G × G | Es existiert ein g ∈ G mit der Eigenschaft

b = g⁻¹• a • g}.

(a) Zeigen Sie, dass R eine Äquivalenzrelation ist!
(b) Schreiben Sie K(1_G) explizit hin, mit Begründung.

Answer 1

Reflexivität: Verwende für g das neutrale Element.

Symmetrie:

b = g−1• a • g      | Beide Seiten von links mit g multiplizieren

g • b = e • a • g   | Beide Seiten von rechts mit g^-1 multiplizieren

g • b • g^-1 = e •  a • e = a

Jetzt benennen wir mal g in h^-1 und g^-1 in h um, somit existiert ein Element h mit

a = h⁻¹• b • h 

Transitivität:

Aus b = g⁻¹• a • g   und c = h⁻¹• b • h folgt durch einsetzen

c = h⁻¹• g⁻¹• a • g • h

Knackpunkt:  Ist h⁻¹• g⁻¹ das Inverse von g• h ??

Die Antwort darauf lautet ja, denn  h⁻¹• g⁻¹ • g • h kann man von Innen her auflösen zu h⁻¹• e • h = h⁻¹•  h = e.