Lineare Abbildung, Matrix

Question

Aufgabe: Gegeben sei die lineare Abbildung f : R^3 → R^3 mit f(x,y,z) := (x,y,0).

a) Überprüfen Sie, ob die lineare Abbildung f eine Projektion ist.

Problem: Wie überprüfe ich das?

b) Bestimmen Sie den Kern, das Bild, den Defekt und den Rang der Matrix A.

Ansatz: f(x)=0 <=> Ax=0... weiter weiß ich nicht

Answer 1

Aloha :)

Die gegebene Abbildung kannst du in Matrixschreibweise wie folgt schreiben schreiben:$$f(x,y,z)=\left(\begin{array}{c}x\\y\\0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right)$$Eine Matrix \(A\) beschreibt eine Projektion, wenn \(A^2=A\) gilt, denn dann ändert nur die erste Anwendung von \(A\) das Objekt (Vektor oder Matrix) auf das es wirkt und jede weitere Anwendung hat keinen Effekt mehr. Wir prüfen das nach:

$$\left(\begin{array}{c}1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0\end{array}\right)^2=\left(\begin{array}{c}1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0\end{array}\right)\quad\checkmark$$

Bild und Kern kann man der Matrix direkt ansehen. Die Basen sind:

$$\text{Bild}(f)=\left(\,\left(\begin{array}{c}1\\0\\0\end{array}\right)\,,\,\left(\begin{array}{c}0\\1\\0\end{array}\right)\,\right)\quad;\quad\text{Kern}(f)=\left(\,\left(\begin{array}{c}0\\0\\1\end{array}\right)\,\right)$$Der Rang der Matrix (=Dimension des Bildes) ist also \(2\) und der Defekt (=Dimension des Kerns) der Matrix ist \(1\).

Comments

Vielen lieben Dank!

Answer 2

Hallo

a) du solltest sehen, dass alle Punkte ihre z Koordinate "verlieren" bzw. sie auf 0 gesetzt wird. also liegen alle abgebildeten Punkte in der x-y Ebene, wohin sie projiziert wurden!

b) Was wird denn bei dieser Projektion auf den 0 Punkt abgebildet. das ist der Abb, auch direkt anzusehen.

das Bild ist 2d, was ist dann der Rang der Matrix?

 was ihr "Defekt" nennt weiss ich nicht.

Gruß lul