Polynomdivision zur "Vereinfachung" von Brüchen nach Substitution

Question

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ich stecke momentan in vollen Zügen zur Klausurvorbereitung für Ingenieursmathematik 2 an der FH.

Dabei werden immer wieder solche oder so ähnliche Tricks wie bei dieser Aufgabe (siehe unten) angewandt:

Aufgabe:

$$\int_{}^{}\frac{e^x+1}{e^x-1}dx$$

Substitutionsanssatz:

$$z=e^x$$

Führt zu:

$$\int_{}^{}\frac{z+1}{z(z-1)}dz$$


Nach Polynomdivision des substituierten Integrals soll folgender Term (und damit Teilintegrale) rauskommen:

(Leider verstehe ich die Umformung von dem vorherigen Schritt zu dem hier nicht.)


Term nach Polynomdivision:
$$-\frac{1}{z}+\frac{2}{z-1}$$

Daraus folgen Teilintegrale:

$$\int_{}^{}-\frac{1}{z}+\int_{}^{}\frac{2}{z-1}$$

Nochmal meine Frage: Wie genau funktioniert die Polynomdivison in dem obigen Beispiel?

Bestimmt blamier ich mich hier mit der Frage, wäre super wenn mir jemand weiterhelfen könnte.

Answer 1

Hallo,

Es geht hier um die Partialbruchzerlegung:

Ansatz:

(z+1)/(z (z-1)) = A/z +B/(z-1) | *Hauptnenner

z+1= A(z-1) +Bz

Einsetzmethode:

z₁= 0 : 1=-A ->A=-1

z₂= 1 : 2=B

------->angegebene Ergebnis

Comments

!!

Hab mich total vertan.

Jetzt erkenne und verstehe ich es!

Answer 2

Nach Polynomdivision 

Bist du sicher, dass es "Polynomdivision" heißen soll?

Ich tippe eher auf "Partialbruchzerlegung".

Comments

Ach ja,

PBZ steht dran.

Sorry!