Substitution und Vereinfachung

Question

ich komme bei folgender Aufgabe nicht weiter und bin für Hilfe dankbar.

Es sei

$$y={ l }^{ \alpha  }({ \frac { g }{ \beta  } ) }^{ \beta  }$$ mit $$a>0,b>0,a+b<1$$
$$z={ \alpha  }(1-\beta )(1-l)$$
$$l={ \left[ \frac { 1-x }{ 1-\beta  } ({ \frac { g }{ \beta  } ) }^{ \beta  } \right]  }^{ \frac { 1 }{ 1-\alpha  }  }$$

Zeigen Sie das durch einsetzen von y, z und l in $$u=z+(1-x)y$$ folgende Gleichung entsteht:

$$u=(1-\beta )\left[ \alpha +(1-\alpha )l \right] $$

Besten Dank und liebe Grüße

Comments

Woran genau scheiterst du?

Verstehst du "einsetzen"? Mach das mal.

(Die Ungleichungen brauchst du vorerst nicht zu beachten)

Dann Bruchrechengesetze und Potenzgesetze benutzen.

Und warum schreibst du Substitution in die Überschrift?

Noch etwas: in der Gleichung u = ....

kommt l gar nicht vor.

Ist das ein Druckfehler? Sollte die 1 ein l sein? 

Tipp: Verwende am Bildschirm besser k statt l, damit da keine Verwechslungen passieren. 

EDIT: l kannst du nicht direkt einsetzen. Falls du korrekt abgeschrieben hast, kannst du aber erst mal die dritte Gleichung l=... noch (1-x) auflösen und dann direkt (1-x) in der Gleichung u = ... einsetzen. 

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Wie Lu schom festgestellt hat, kommt l in der Gleichung u=z+(1−x)y gar nicht vor, aber ein x, das nach dem Einsetzen verschwunden ist: u=(1−β)[α+(1−α)l].

So kommt es,dass dir niemand helfen kann.

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Nach dem Einsetzen von \(y\) und \(z\) kommen doch genug \(l\) vor...

Answer 1

Lu hat schon den richtigen Ansatz gegeben . y und z können direkt durch die gegebenen Terme ersetzt werden. Am geschicktesten ist es , den dritten Term direkt nach (1-x) umzustellen, dann bleibt es übersichtlicher.

Dann kürzen sich einige Terme heraus, z.B (g/β)^β *(β/g)^β=1 und l^{1-α} * l^α =1

Zum Schluss kannst du noch (1-β) ausklammern und etwas umsortieren, um das Musterergebnis zu erhalten. Wenn du konkret Hilfe brauchst, so zeige deine Rechenschritte.

Comments

So hat es geklappt. Vielen lieben Dank. Natürlich auch an alle anderen die mitgedacht haben.