Lösen Sie durch geeignete Substitution bzw. durch Vereinfachung folgende Gleichung

Question

Einen wunderschönen guten Abend allerseits.
Ich war gerade dabei, nochmal alte Aufgaben durchzugehen und zu üben, und habe eine Aufgabe gefunden, die mir leider Schwierigkeiten bereitet. Ich würde mich außerordentlich freuen, wenn mir bitte jemand weiterhilft. :-)

Die Funktion lautet f(x) = sin²x-1/2 = 0 ; [0≤x≤π]

Mein Ansatz sieht wie folgt aus:
(sin(x))² = a
f₁(a) = a - 1/2 | p-q-Formel
a_1/2 = -1/2 +- √ 3/4
a₁ = 0,366a₂ = negatives Ergebnis ⇒ fällt weg 
Rücksubstitution: sin^-1(a₁) = 0,37

Mein TR verlangt aber eine ganz andere Lösung und zwar:

x = 2 • n1 • π + π/4 or x = 2 • n1 • π + 3•π/4 or x = 2 • n2 • π - π/4 or x = 2 • n2 • π + 5•π/4

Ich weiß echt nicht, wie ich auf das Ergebnis kommen soll... 
 
Liebe Grüße

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f(x) = sin^2 x-1/2 = 0

Wie lautet die Gleichung

[ sin(x) ]^2 -1/2 = 0
oder
[ sin ( x-1/2 ) ] ^2 = 0

Answer 1

Hallo

 deine Substitution war richtig, aber dann hast du a^2-1/2=0 und sowas rechnet man nicht mit der pq Formel sondern a^2=1/2, a₁=+√(1/2)=(√2)/2 , a₂=(√2)/2

also sinx₁=(√2)/2 , sinx₂=-(√2)/2

Gruß lul

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Vielen lieben Dank, daran habe ich ja überhaupt nicht gedacht, dass man es auch auf die andere Seite rüberbringen kann und dann einfach die Wurzel ziehen kann.

Schönes WE! 

Answer 2

$$ \sin^2x-\dfrac 12 = 0 \quad\land\quad 0≤x≤\pi \\ \left(\sin(x)\right)^2-\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 = 0 \quad\land\quad 0≤x≤\pi \\ \left(\sin(x)-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right) \cdot \left(\sin(x)+\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right) = 0 \quad\land\quad 0≤x≤\pi \\ \left( x=2k\pi+\dfrac{\pi}{4} \quad\lor\quad x=2k\pi-\dfrac{\pi}{4}\right) = 0 \quad\land\quad k\in\mathbb{Z}\quad\land\quad 0≤x≤\pi \\ x=\dfrac{\pi}{4}. $$