Fourier-Reihen Mysterium Integrationsgrenzen

Question

Hallo Mathe-Asse,

Ich habe folgende Aufgabe nach einigem hin und her und mit Hilfe von Wolfram Alpha lösen können

und bin dabei auf etwas gestoßen, was ich einfach nicht verstehen kann.

AUFGABE:
Berechnen Sie die Fourier-Koeffizienten der 2π-periodischen Funktion
f(x) = x • cos(x)      x  =  [0..2π]
und nutzen Sie diese, um die dazugehörigen Fourier- Reihe darzustellen
Hinweis: sin(x) • cos(y) = 1/2• (sin(x - y)+sin(x + y))

1.) Funktion ist ungerade, also ak = 0

2. ) b_k berechnet mit Integrationsgrenzen 0 bis 2π. Lösung: b_k = $$ \frac{-2k}{k²-1} $$ (gilt für k ≠ 1)

3.) b₁ gesondert berechnet und -0,5 errechnet.

Damit sind alle Koeffzienten negativ. Beim Nachprüfen mit Wolfram Alpha alternieren die Koeffizienten jedoch.

Mir fehlte also so etwas wie (-1)^k und ich wusste, dass ich so etwas wahrscheinlich erhalten würde, wenn ich von -π bis π integrieren würde, da cos(π k) = (-1)^k falls k ∈ ℕ. Also erneut nachgerechnet und siehe da, das neue Ergebnis

entspricht der Lösung aus Wolfram Alpha mit bk = $$ \frac{(-1)^k * 2k}{k²-1} $$

PROBLEM und FRAGE:

Ich zitiere zunächst ein Mathebuch (Koch, Mathematik für das Ingenieurstudium, 2. Auflage, S. 555):

Bei der Berechnung der reellen und komplexen Fourier-Koeffizienten einer Fourier-Reihe
darf man das Integrationsintervall um einen beliebigen Wert t₀ verschieben.

Also könnte man z.B. für "einfacheres" Rechnen statt [-T/2, T/2] die verschobenen Grenzen (um t₀ = T/2) [0, T] benutzen.

Nur wie man sieht, kommen für verschiedene Integrationsgrenzen verschiedene Ergebnisse raus, was ich auch als sinnvoll empfinde, da die Funktion über jedem unterschiedlichen Intervall auch anders aussieht.

- Stimmt die Regel aus dem Zitat nicht?

- Ist die Regel an eine nicht erwähnte Bedingung verknüpft? (in der Art "Darf nur angewandt werden, wenn folgendes gilt...")

- Übersehe ich generell etwas?

Falls ich meine Rechnungen zur Verfügung stellen soll oder etwas genauer erläutern soll, gerne nachhaken!

Ich hoffe, diese Problematik empfindet irgendwer als interessant genug, um mir zu helfen.

 

Answer 1

ja da sollte dasselbe herauskommen, da die Funktion 2π periodisch ist. Daher ist auch

f(t)*sin(t) bzw. f(t)*COS(t) 2π periodisch.

Und wenn du dann das Integral um eine konstante verschiebt, dann nimmt du einfach vorne einen Teil und schiebst den nach hinten.

Comments

Danke für das schnelle Antworten. Es kommt jedoch nachweislich was anderes heraus für -π bis π bzw. 0 bis 2π.

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Na dann zeig mal deine Rechnung!

PS: dein Problem wird hier auch kurz besprochen:

https://matheplanet.com/default3.html?call=viewtopic.php?topic=106507&ref=https%3A%2F%2Fwww.google.de%2F

(letzter Kommentar dort)

Kommt also in beiden Fällen dasselbe heraus.

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Die Rechnung für 0 bis 2π:

Ich sehe keinen Fehler. Koeffizienten sind alle negativ. Laut Wolfram Alpha gibt es jedoch wechselnde Vorzeichen.

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Hi,

das Problem liegt darin, wie die Ausgangsfunktion definiert ist.

Also ob von [-π,π]->R oder  [0,2π]->R (jeweils periodisgh fortgesetzt)

Das sind dann zwei unterschiedliche Funktionen, mit unterschiedlichen Fourierreihen.

Wenn letzteres der Fall ist ,dann wäre deine Funktion aber weder gerade noch ungerade.

(siehe auch plot):

 https://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+xcos(x),0%3C%3Dx%3C%3D2pi

Dann sind die a_i zu berechnen. Ich komme auf a_0=0,a_1=π und alle anderen a_i=0.  Deine b_i passen dann. Du integrierst hier von 0 bis 2π, weil die Funktion in dem Intervall definiert ist.

Wolfram geht bei seinem Algorithmus vom Falle

[-π,π]->R aus.

Das ist eigentlich auch der üblichere Fall, da dann die Funktion wenigstens eine Symmetrie hat um Rechnung zu sparen. Aber in der Aufgabe steht ja explizit x  =  [0..2π], daher sollte dein Ergebnis stimmen (bis auf a_1).

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Das klingt sehr stimmig. Danke für die Mühe!

Quasi was ich vermutet hatte (Zitat ich):

Nur wie man sieht, kommen für verschiedene Integrationsgrenzen verschiedene Ergebnisse raus, was ich auch als sinnvoll empfinde, da die Funktion über jedem unterschiedlichen Intervall auch anders aussieht.

ABER:.... ist die Regel, welche ich zitiert habe, dann nicht Bockmist?

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Ja stimmt, ich habe dein Problem erst später richtig verstanden ;).

Aber die Regel im Buch ist richtig.

Bei der Berechnung der reellen und komplexen Fourier-Koeffizienten einer Fourier-Reihe
darf man das Integrationsintervall um einen beliebigen Wert t0 verschieben.

Du hast ja die Fourierreihen zweier verschiedener Funktionen berechnet, daher die Regel hast du nie verwendet.

Beachte die Funktion ist ja nur periodisch, weil sie  abschnittsweise immer alle 2π wiederholt wird. Bei der Berechnung musst du also auch den Funktionsterm entsprechend anpassen, wenn du über andere Intervalle integrierst. Beispiel deine Funktion:

Sie lautete abschnittsweise definiert:

f(x)= ...

       (x+2π)cos(x+2π),-2π<=x<0

       xcos(x), 0<=x<=2π

       (x-2π)cos(x-2π),2π<x<=4π

       ...

https://www.wolframalpha.com/input/?i=Plot%5BPiecewise%5B%7B%7B(x%2B2%CF%80)cos(x%2B2%CF%80),-2%CF%80%3C%3Dx%3C0%7D,+%7B++xcos(x),+0%3C%3Dx%3C%3D2%CF%80%7D,%7B(x-2%CF%80)cos(x-2%CF%80),2%CF%80%3Cx%3C%3D4%CF%80%7D%7D%5D%5D

Hier sieht man ja deutlich, dass es nun egal ist, ob man von 0 bis 2π

oder von 2π bis 4π integriert, die Funktion wiederholt sich ja nur (genauso wie cos(kx)/sin(kx), sind ebenfalls 2π periodisch

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Restlos verstanden! Vielen lieben dank!