Rechenschritt in einer Integrationsaufgabe unklar

Question

∫1/((1-x^2)^(1/2)) = arcsin(x) + C

Problem/Ansatz:

Mir ist unklar, warum beim Uebergang von Rechenschritt (1) zu (2), wobei theta statt x eingefuehrt wird, statt dx cos theta dx gesetzt werden muss.

(1) \( y=\int \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} d x \)
(2) \( y=\int \frac{1}{\sqrt{1-\sin ^{2} \theta}} \cdot \cos \theta d x \)
(3) \( y=\int \frac{1}{\cos \theta} \cdot \cos \theta d x \)
\( (4) y=\int 1 d \theta \)
\( (5) y=\theta+c \)
(6) \( y=\arcsin (x+c) \)

\( \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} | x \)
11
\( \sin \theta=\frac{\frac{x}{1}}{\frac{\sqrt{1-x^{2}}}{1}} \)
\( \sin ^{2} \theta=x^{2} \)

Answer 1

Aloha :)

An der kritischen Stelle wird folgende Substitution vorgenommen:$$x=\sin\Theta\quad;\quad \frac{dx}{d\Theta}=\cos\Theta\quad\Rightarrow\quad dx=\cos\Theta\,d\Theta$$

Am Ende (Schritt 6) wird dann wieder zurück substituiert:$$\Theta=\arcsin x$$Das \(c\) muss außerhalb des \(\arcsin\) stehen, also \(\arcsin(x)+c\).

Comments

Hallo Tschaka,

ein Tipp zu den griechischen Buchstaben:

\theta , \vartheta , \Theta

$$ \theta , \vartheta , \Theta $$