Wie geht man bei dieser Aufgabe vor(Integrationsaufgabe)

Question

Ich wollte wissen, wie man bei dieser Aufgabe vorgehen muss, um diese zu lösen.

Es wäre sehr nett von euch, wenn ihr mir da helfen könntet :)

$$ \int _{ a }^{ b }{ \frac { |ln| }{ x } dx }  $$

Ansatz:

0 < x < 1 => lnx < 0

1 < x < oo 

Answer 1

Hi,

die Stammfunktion ist \( \frac{1}{2} \cdot ln(x)^2\), falls \(a \ge 1 \).

Ist \(a < 1\), so können wir folgendes machen:

$$\begin{aligned} \int_a^b \frac{\vert ln(x) \vert }{x} \ dx &= \int_1^b \frac{ ln(x) }{x} \ dx + \int_a^1 \frac{- ln(x)}{x} \ dx \\ &= \frac{1}{2} \cdot ln(x)^2 \Big|_1^b - \frac{1}{2} \cdot ln(x)^2 \Big|_a^1 \end{aligned}$$

Comments

Wie würde man bei a=1, b =2 und dann bei a=0, b =1 vorgehen?

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Achso, ja, \(b\) kann auch noch kleiner gleich als 1 sein, stimmt.

Den ersten Fall habe ich oben beschrieben, schau da noch mal bitte.

Was du im Fall \(b \le 1\) erhältst kannst du dir selbst schnell beantworten, indem du verstehst wieso ich das Integral oben im Fall \(a<1\) so umgeschrieben haben. Die Antwort wie du vorgehen musst, steckt da nämlich drin :)

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beim ersten , also a=1, b= 2 ist a doch genau 1, gilt da dein Rechenweg noch?

Und muss icih bein b<- 1 genau umgekehrt rechnen, wie du vorgegeben hast?

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Die Stammfunktion habe ich hingeschrieben für den Fall \(a \ge 1\). Da gehört \(a=1\) auch dazu :)

Dir scheint noch nicht ganz klar zu sein, was ich oben getan habe: Die ln-Funktion nimmt im Intervall \((0,1)\) ausschließlich negative Werte an. Auf dem Intervall \((1, \infty)\) nimmt sie nur positive Werte an. Außerdem gilt \(f(1)=0\).

Nun wollte ich den Betrag weg haben und habe dazu das Integral aufgeteilt in zwei Integrale, indem ich einmal ein Integral betrachte, wo wir nur über positive Werte (bzw. 0) integrieren und eins wo wir nur über negative Werte (bzw. 0) integrieren.

Ich erhielt:

$$\int_1^b \frac{\vert ln(x) \vert}{x} \ dx + \int_a^1 \frac{\vert ln(x) \vert}{x} \ dx $$

Auf dem Intervall \([1, b]\) nimmt die ln-Funktion nur positive Werte an (bzw. an der Stelle 1 den Wert 0), womit ich dort den Betrag weglassen kann.

$$\int_1^b \frac{ ln(x) }{x} \ dx + \int_a^1 \frac{\vert ln(x) \vert}{x} \ dx $$

Auf dem Intervall \([a,1]\) nimmt die ln-Funktion nur negative Werte an (bzw. an der Stell 1 den Wert 0). Somit kann ich den Betrag weglassen indem ich ihn ersetze durch ein Minus, da Minus mal Minus zu Plus wird.

$$\int_1^b \frac{ ln(x) }{x} \ dx + \int_a^1 \frac{- ln(x) }{x} \ dx $$

Wie lautet also die Stammfunktion, wenn \(b \le 1\) (und somit auch \(a \le 1\)) ist? Bedenke, dass die ln-Funktion auf dem Intervall \([a,b]\) folglich nur negative Werte (bzw. eventuell an der Stelle 1 den Wert 0) annimmt.

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Also erst haste das Integral in zwei(beide mit Beträge)

Und hast die dann jeweils der Aufgabe angepasst(beim 2 und 3 Feld)?

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Ja, also ich wollte den Betrag wegkriegen und habe dann ausgenutzt, dass die Werte der ln-Funktion auf den Intervallen über die man integriert immer nur ein Vorzeichen haben.

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∫b1ln(x)x dx+∫1a−ln(x)x dx  <- das bezog sich doch auf b<=1; oder? :)

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Das ist für \(b \ge 1 \) und \(a \le 1\) :/

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Und das andere dann  auf b<=1

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Das \(b \le 1\) habe ich noch nicht hingeschrieben gehabt. Das war ja die Frage an dich :)

Wenn du was ich oben gemacht habe verstehst, also auch verstehst warum ich das so gemacht habe, dann weißt du wie die Stammfunktion ausschaut, wenn \(b \le 1\). Versuche das mal.

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Sry , dass ich erst jetzt nachfrage aber vereinfacht heißt das doch 1/2ln(b)^2   + 1/2ln(a)+C

Und kann man 1/2 ln(b)^2 weiter vereinfachen?

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Kein Problem. Ja, vereinfacht kann man das so schreiben wie du gesagt hast. Du hast ledilich ein hoch 2 vergessen bei dem ln(a). Leider kann man den Ausdruck dann nicht weiter vereinfachen. Du kannst noch die 0.5 rausziehen, mehr aber auch nicht.