hier musst du aufpassen! Denn 0 liegt nicht im Definitionsbereich von ln(2x)!!!
Aber erstmal wird die Stammfunktion betrachtet.
$$ \int{x\cdot \ln(2x)}dx \quad \text{Substituiere }u=2x \Leftrightarrow x=\frac{1}{2}u \qquad \frac{du}{dx}=2\Leftrightarrow dx=\frac{1}{2}du$$ Dann erhält man weiter durch partielle Integration:
$$ \int{\frac{1}{2}u\cdot\ln(u)\frac{1}{2}du}=\frac{1}{4}\cdot\int{u\cdot\ln(u)}du=\frac{1}{4}\Bigg[\frac{1}{2}u^2\cdot\ln(u) \Bigg]-\frac{1}{4}\cdot \int \frac{1}{2}u^2\cdot\frac{1}{u}du\\[20pt]=\frac{1}{4}\Bigg[\frac{1}{2}u^2\cdot\ln(u) \Bigg]-\frac{1}{4}\cdot \int{ \frac{1}{2}u}\ du=\frac{1}{4}\Bigg[\frac{1}{2}u^2\cdot\ln(u) \Bigg]-\frac{1}{4}\cdot\Bigg[\frac{1}{4}u^2\Bigg]\\[25pt]=\frac{1}{4}\Bigg[\frac{1}{2}\cdot4x^2\cdot\ln(2x) \Bigg]-\frac{1}{4}\cdot\Bigg[\frac{1}{4}\cdot4x^2\Bigg]=\frac{1}{4}\Bigg[2x^2\cdot\ln(2x) \Bigg]-\frac{1}{4}\cdot\Bigg[x^2\Bigg]\\[25pt]=\frac{1}{4}x^2\cdot\Bigg[2\cdot\ln(2x) -1\Bigg]=:F(x)$$
Nachweis:
$$ F'(x)=2\cdot\frac{1}{4}x\cdot\Bigg[2\cdot\ln(2x) -1\Bigg]+\frac{1}{4}x^2\cdot\Bigg[ 2\cdot\frac{1}{2x}\cdot 2\Bigg]\\[25pt]=\frac{1}{2}x\cdot\Bigg[2\cdot\ln(2x) -1\Bigg]+\frac{1}{4}x^2\cdot\Bigg[ \frac{2}{x}\Bigg]\\[25pt]=\frac{1}{2}x\cdot\Bigg[2\cdot\ln(2x) -1\Bigg]+\frac{1}{2}x=\frac{1}{2}x\cdot 2\cdot\ln(2x) -\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}x=x\cdot\ln(2x) $$
Nun zum bestimmten Integral. Wie schon oben erwähnt, muss man hier vorsichtig sein. Deshalb nähere ich mich von rechts der Null an.
$$ \int_0^e{x\cdot \ln(2x)}dx=\lim_{a \nearrow 0}\int_a^e{x\cdot \ln(2x)}dx=\lim_{a \nearrow 0}\Bigg(\frac{1}{4}x^2\cdot\Bigg[2\cdot\ln(2x) -1\Bigg]_a^e \Bigg)\\[25pt]=\lim_{a \nearrow 0}\Bigg(\frac{1}{4}e^2\cdot\Bigg[2\cdot\ln(2e) -1\Bigg]-\frac{1}{4}a^2\cdot\Bigg[2\cdot\ln(2a) -1\Bigg] \Bigg)\\[25pt]=\frac{1}{4}e^2\cdot\Bigg[2\cdot\ln(2e) -1\Bigg]=\underline{\underline{\frac{e^2(2\ln(2e)-1)}{4}}} $$
