hier ist partielle Integration angesagt. Erstmal bestimme ich die Stammfunktion.
$$ \int{x^2\cdot\ln(x)}dx=\frac{1}{3}x^3\cdot\ln(x)-\int{\frac{1}{3}x^3}\cdot\frac{1}{x}dx=\frac{1}{3}x^3\cdot\ln(x)-\int{\frac{1}{3}x^2}dx\\[20pt]=\frac{1}{3}x^3\cdot\ln(x)-\frac{1}{9}x^3=:F(x) $$
Nachweis:
$$ F'(x)=3\cdot\frac{1}{3}x^2\ln(x)+\frac{1}{3}x^3\cdot\frac{1}{x}-3\cdot\frac{1}{9}x^2=x^2\ln(x)+\frac{1}{3}x^2-\frac{1}{3}x^2\\=x^2\ln(x) $$
Nun zum bestimmten Integral:
$$ \int_1^e{x^2\cdot\ln(x)}dx=\Bigg[\frac{1}{3}x^3\cdot\ln(x)-\frac{1}{9}x^3 \Bigg]_1^e\\=\frac{1}{3}\cdot e^3\cdot\ln(e)-\frac{1}{9}\cdot e^3-\Big(\frac{1}{3}\cdot1^3\cdot\ln(1)-\frac{1}{9}\cdot1^3 \Big)\\=\frac{e^3}{3}-\frac{e^3}{9}-\frac{1}{3}\cdot 0 +\frac{1}{9}=\frac{2e^3}{9}+\frac{1}{9}=\underline{\underline{\frac{2e^3+1}{9}}} $$
