Behauptung: ∀ n∈ℕ\{0}: $$ \sum_{k=1}^{n}{k \cdot k!}=(n+1)!-1\quad$$
Induktionsanfang
$$ \text{Sei } n_0=1. \text{ Dann ist }\\\sum_{k=1}^{1}{k \cdot k!}= 1\cdot 1!=1= 2-1=(1+1)!-1. \\\text{Damit ist die Aussage für n=1 wahr.} $$
Induktionsschritt
Angenommen die Aussage sei für ein festes, aber beliebiges n∈ℕ\{0} wahr, so dass gilt :
$$ \sum_{k=1}^{n}{k \cdot k!}=(n+1)!-1\quad (IV)$$
Dann gilt diese Aussage auch für n+1, also:
$$ \sum_{k=1}^{n+1}{k \cdot k!}=(n+2)!-1 $$
Dies zeigt man so:
$$ \sum_{k=1}^{n+1}{k \cdot k!}\\= \Bigg(\sum_{k=1}^{n}{k \cdot k!}\Bigg) +(n+1) \cdot (n+1)! \\\stackrel{(IV)}{=} (n+1)!-1+(n+1) \cdot (n+1)! \\=(n+1)! \cdot (1+(n+1))-1\\=(n+1)!\cdot (n+2)-1\\=(n+2)!-1.$$
Damit wurde die Aussage für alle n∈ℕ\{0} bewiesen.
q.e.d
