Zeigen Sie mithilfe vollständiger Induktion die Richtigkeit der Formel Σ k·k!

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie mithilfe vollständiger Induktion die Richtigkeit der Formel
$$ \sum \limits_{k=1}^{n} k \cdot k !=(n+1) !-1 $$
für alle \( n \in \mathbb{N} \)

Wie geht man bei dieser Induktionsaufgabe vor, um die Richtigkeit nachzuweisen?

Mein Ansatz: IndAnf: (n=1); IndVor: (n); IndSchritt: (n+1)

Answer 1

Zu zeigen

Σ (k = 1 bis n) (k·k!) = (n + 1)! - 1

Induktionsanfang n = 1

Σ (k = 1 bis 1) (k·k!) = (1 + 1)! - 1
1·1! = 2! - 1
1 = 1
wahr

Induktionsschritt n --> n + 1

Σ (k = 1 bis n + 1) (k·k!) = ((n + 1) + 1)! - 1
Σ (k = 1 bis n) (k·k!) + (n + 1)·(n + 1)! = (n + 2)! - 1
(n + 1)! - 1 + (n + 1)·(n + 1)! = (n + 2)! - 1
(n + 1)! + (n + 1)·(n + 1)! = (n + 2)!
(n + 1)!·(1 + (n + 1)) = (n + 2)!
(n + 1)!·(n + 2) = (n + 2)!
(n + 2)! = (n + 2)!
wahr

Answer 2

Auf beiden Seiten den nächsten Summanden (n+1)!(n+1) addieren. Dann steht links die Summe bis k=n+1 und rechts (n+1)!-1+(n+1)!(n+1) = (n+1)![1+n+1]-1=(n+2)!-1. Wenn man rechts (statt zu addieren) n durch n+1 ersetzt, kommt das Gleiche heraus.