Beweis mit vollständiger Induktion: Σ ((-1)^{k+1})/k

Question

Aufgabe Vollständige Induktion:

Ich muss folgendes Beweisen:

\( \sum \limits_{k=1}^{2 n} \frac{(-1)^{k+1}}{k}=\sum \limits_{k=1}^{n} \frac{1}{n+k} \)

Ansatz/Problem:

Die ersten 2 Schritte sind ja einfach, nur am Induktionsschluss schietere ich irgendwie...

Also prinzipiell weiß ich ja:

\( \sum \limits_{k=1}^{2 n+2} \frac{(-1)^{k+1}}{k}=\sum \limits_{k=1}^{2 n} \frac{(-1)^{k+1}}{k}+\frac{(-1)^{2 n+2}}{2 n+1}+\frac{(-1)^{2 n+3}}{2 n+2}=\sum \limits_{k=1}^{n} \frac{1}{n+k}+\frac{1}{2 n+1}+\frac{-1}{2 n+2} \)

Aber wie geht es weiter? Außerdem stört das Summenzeichen.

Answer 1

Hi, zu beweisen ist ja das gilt
$$ (1) \quad \sum_{k=1}^{2n+2}\frac{(-1)^{k+1}}{k} = \sum_{k=1}^{n+1} \frac{1}{n+1+k} $$
Die linke Seite von (1) ergibt zusammen mit der Induktionsvoraussetzung
$$ (2) \quad \sum_{k=1}^n \frac{1}{n+k} +\frac{1}{2n+1} - \frac{1}{2n+2} $$
Die rechte Seite von (1) ergibt
$$  (3) \quad \sum_{k=1}^{n+1} \frac{1}{n+1+k}=\sum_{k=2}^{n+2}\frac{1}{n+k}= \sum_{k=1}^{n+2}\frac{1}{n+k} - \frac{1}{n+1} =$$  $$\sum_{k=1}^n\frac{1}{n+k} + \frac{1}{2n+1} + \frac{1}{2n+2}-\frac{1}{n+1} $$
Wegen (2) und (3) ist also zu beweisen das gilt
$$  \frac{1}{2n+1} - \frac{1}{2n + 2}  = \frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n+2}-\frac{1}{n+1}$$
was man durch einfaches ausrechnen bestätigen kann.