Aufgabe:
Beweisen Sie, dass für alle n ∈ ℕ gilt:
∑k=1n(2k−1 \sum\limits_{k=1}^{n}{(2k-1} k=1∑n(2k−1) = n2
Wie mache ich das am besten? Bin für jede Hilfe dankbar
Aloha :)
Behauptung:∑k=1n(2k−1)=n2;n∈N\quad\pink{\sum\limits_{k=1}^n(2k-1)=n^2}\quad;\quad n\in\mathbb Nk=1∑n(2k−1)=n2;n∈N
Induktionsverankerung bei n=1n=1n=1:∑k=1n(2k−1)=∑k=11(2k−1)=2⋅1−1=1=12=n2✓\sum\limits_{k=1}^n(2k-1)=\sum\limits_{k=1}^1(2k-1)=2\cdot1-1=1=1^2=n^2\quad\checkmarkk=1∑n(2k−1)=k=1∑1(2k−1)=2⋅1−1=1=12=n2✓
Induktionsschritt von nnn auf (n+1)(n+1)(n+1):
∑k=1n+1(2k−1)=(2(n+1)−1)+∑k=1n(2k−1)=2n+1+n2=(n+1)2✓\sum\limits_{k=1}^{n\green{+1}}(2k-1)=(\green{2(n+1)-1})+\pink{\sum\limits_{k=1}^n(2k-1)}=\green{2n+1}+\pink{n^2}=(n+1)^2\quad\checkmarkk=1∑n+1(2k−1)=(2(n+1)−1)+k=1∑n(2k−1)=2n+1+n2=(n+1)2✓
Hallo,
vermutlich sollst du das mit vollständiger Induktion beweisen.
Induktionsanfang mit n=1 bekommst du bestimmt selbst hin.
Induktionsvoraussetzung: Formel gelte für n
Induktionsschritt: Gilt sie dann auch für n+1?
...
Tipp
(n+1)2 = n2+2n+1=n2 + 2(n+1) - 1
:-)
Induktionsanfang: Beweise, dass
∑k=11(2k−1)=12\sum\limits_{k=1}^1(2k-1) = 1^2k=1∑1(2k−1)=12
ist.
Induktionsschritt: Sei n∈Nn\in \mathbb{N}n∈N mit
∑k=1n(2k−1)=n2\sum\limits_{k=1}^n(2k-1) = n^2k=1∑n(2k−1)=n2.
Beweise, dass
∑k=1n+1(2k−1)=(n+1)2\sum\limits_{k=1}^{n+1}(2k-1) = (n+1)^2k=1∑n+1(2k−1)=(n+1)2
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