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Aufgabe:

Beweisen Sie, dass für alle n ∈ ℕ gilt:


k=1n(2k1 \sum\limits_{k=1}^{n}{(2k-1} ) = n


Wie mache ich das am besten? Bin für jede Hilfe dankbar

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Aloha :)

Behauptung:k=1n(2k1)=n2;nN\quad\pink{\sum\limits_{k=1}^n(2k-1)=n^2}\quad;\quad n\in\mathbb N

Induktionsverankerung bei n=1n=1:k=1n(2k1)=k=11(2k1)=211=1=12=n2\sum\limits_{k=1}^n(2k-1)=\sum\limits_{k=1}^1(2k-1)=2\cdot1-1=1=1^2=n^2\quad\checkmark

Induktionsschritt von nn auf (n+1)(n+1):

k=1n+1(2k1)=(2(n+1)1)+k=1n(2k1)=2n+1+n2=(n+1)2\sum\limits_{k=1}^{n\green{+1}}(2k-1)=(\green{2(n+1)-1})+\pink{\sum\limits_{k=1}^n(2k-1)}=\green{2n+1}+\pink{n^2}=(n+1)^2\quad\checkmark

Avatar von 152 k 🚀
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Hallo,

vermutlich sollst du das mit vollständiger Induktion beweisen.

Induktionsanfang mit n=1 bekommst du bestimmt selbst hin.

Induktionsvoraussetzung: Formel gelte für n

Induktionsschritt: Gilt sie dann auch für n+1?

...

Tipp

(n+1)2 = n2+2n+1=n2 + 2(n+1) - 1

:-)

Avatar von 47 k
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Induktionsanfang: Beweise, dass

        k=11(2k1)=12\sum\limits_{k=1}^1(2k-1) = 1^2

ist.

Induktionsschritt: Sei nNn\in \mathbb{N} mit

        k=1n(2k1)=n2\sum\limits_{k=1}^n(2k-1) = n^2.

Beweise, dass

        k=1n+1(2k1)=(n+1)2\sum\limits_{k=1}^{n+1}(2k-1) = (n+1)^2

ist.

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