Du musst beide für beide Seiten n+1 zeigen. Das heißt, die rechte Seite hast du ja schon. Jetzt musst du die Linke auch noch machen.
∑(von k=1 bis n) (-1)^{k-1}*k+(-1)^{(n+1)-1}*1=dem,was du schon auf der rechten Seite hattest
(1/4)(1+(-1)^{n-1}*(2n+1))+(-1)^{(n+1)-1}*1=dem, was du auf der rechten Seite schon hattest.
Jetzt einfach ausrechnen und zeigen, dass die beiden Seiten gleich sind.
(Die Zeile, die du oben in einem Kommentar geschrieben hast, steht noch vor meinen beiden Zeilen.