Beweis von Σ (-1)^{k+1}/k = Σ 1/(n+k) mittels vollständiger Induktion!?

Question

Aufgabe:

Ich soll beweisen, dass diese Gleichung für alle n ∈ N glit:

\( \sum \limits_{k=1}^{2 n} \frac{(-1)^{k+1}}{k}=\sum \limits_{k=1}^{n} \frac{1}{n+k} \)

Answer 1

der Induktionsanfang \(n=1\) ist klar. Induktionsschritt:$$\sum_{k=1}^{2n+2}\frac{(-1)^{k+1}}k=\sum_{k=1}^n\frac1{n+k}+\left(\frac1{2n+1}-\frac1{2n+2}\right)$$$$\quad=\sum_{k=2}^{n+2}\frac1{n+k}+\left(\frac1{n+1}-\frac1{2n+1}-\frac1{2n+2}\right)+\left(\frac1{2n+1}-\frac1{2n+2}\right)$$$$\quad=\sum_{k=1}^{n+1}\frac1{n+1+k}.$$