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n >= 0,

Aufgabe: n3+(n+1)3+(n+2)3 = 9k für manche k ∈ Z


Problem/Ansatz:

Hallo Ich habe den ersten Schritt gemacht und n = 0 gesetzt aber jetzt weiß ich nicht, was der beste weg wäre um fortzufahren


induktionsanfang: n = 0

03+(0+1)3+(0+2)3 = 9k

                      9 = 9k für k = 1

                      9 = 9x1

                      9 = 9

Ich muss diese aufgabe mit einer vollständigen Induktion beweisen, aber weiß nicht genau, wie ich dies anstellen soll.

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Wenn n3 + (n+1)3 + (n+2)3 ∈ 9ℤ ist, dann ist auch
(n+1)3 + (n+2)3 + (n+3)3 = n3 + (n+1)3 + (n+2)3 + 9·(n2+3n+3) ∈ 9ℤ.

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Betrachte im Induktionsschritt: (n+1)3+(n+2)3+(n+3)3(n+1)^3+(n+2)^3+(n+3)^3 und wende auf (n+3)3(n+3)^3 den binomischen Lehrsatz an. Das ergibt n3+9n2+27n+27n^3 + 9n^2+27n+27. Und jetzt überlege mal, wo du die Induktionsvoraussetzung anwenden kannst und zeige, dass der Rest, der übrig bleibt, ebenfalls durch 9 teilbar ist.

Avatar von 21 k

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