bester weg für induktion

Question

n >= 0,

Aufgabe: n³+(n+1)³+(n+2)³ = 9k für manche k ∈ Z

…

Problem/Ansatz:

Hallo Ich habe den ersten Schritt gemacht und n = 0 gesetzt aber jetzt weiß ich nicht, was der beste weg wäre um fortzufahren

induktionsanfang: n = 0

0³+(0+1)³+(0+2)³ = 9k

                      9 = 9k für k = 1

                      9 = 9x1

                      9 = 9

Ich muss diese aufgabe mit einer vollständigen Induktion beweisen, aber weiß nicht genau, wie ich dies anstellen soll.

Comments

Wenn n³ + (n+1)³ + (n+2)³ ∈ 9ℤ ist, dann ist auch
(n+1)³ + (n+2)³ + (n+3)³ = n³ + (n+1)³ + (n+2)³ + 9·(n²+3n+3) ∈ 9ℤ.

Answer 1

Betrachte im Induktionsschritt: $(n+1)^3+(n+2)^3+(n+3)^3$ und wende auf $(n+3)^3$ den binomischen Lehrsatz an. Das ergibt $n^3 + 9n^2+27n+27$. Und jetzt überlege mal, wo du die Induktionsvoraussetzung anwenden kannst und zeige, dass der Rest, der übrig bleibt, ebenfalls durch 9 teilbar ist.