Beweise per Induktion: g^{m} g^{n} = g^(m+n) für alle g ∈ G und m, n ∈ Z.

Question

Sei G eine Gruppe und g ∈ G. Das Inverse von g wird bekanntlich mit g^(−1) bezeichnet. Sei m ∈ Z. Formal definiert man die m-te Potenz g^m von g rekursiv wie folgt:

g^0∶= 1;

g^m ∶= gg^(m−1) für m > 0;

g^m ∶= (g^(−1))^(−m) für m < 0.

Zeigen Sie per Induktion, dass
g^m g^n = g^(m+n)
für alle g ∈ G und m, n ∈ Z.

Answer 1

sei \( g^{m}g^{n} = g^{m+n} \). Als Induktionsanfang hat man \( g^{0+0} = g^{0} = 1 = 1 \cdot 1 = g^{0}g^{0} \). Der Induktionsschritt ist

\( g^{m+1} g^{n} = g g^{m} g^{n} \)

\( = g g^{m+n} = g^{m+n+1} \).

Mister