Warum ergibt eine gerade Zahl quadriert auch eine gerade Zahl?

Question

Weiß jemand, wie man gut begünden kann, dass a gerade sein muss, wenn a^2 gerade ist?

Das kann ich nur durch Ausprobieren nachvollziehen, aber das ist irgendwie so schwammig.

Answer 1

Dieser Nachweis stammt aus der Lektion Irrationale Zahlen:
 

Annahme: Wenn a² gerade ist, ist auch a gerade.

Nachweis in drei Schritten:

I. Jede gerade Zahl kann dargestellt werden mit einer anderen Zahl als 2*k

WENN a gerade ist (a = 2*k) und man a quadriert gilt:
a² = (2*k)²
a² = 2*2*k*k
a² = 2*(2k²)

a² ist also auch gerade.

Fazit: Eine gerade Zahl ins Quadrat ergibt eine gerade Zahl.


II. Jede ungerade Zahl kann dargestellt werden mit 2*k+1

WENN a ungerade ist (a = 2*k+1) und man a quadriert gilt:
a² = (2k+1)²
a² = 4k²+4k+1
a² = 2*(2k²+2k)+1

D. h. der Term 2*(2k²+2k) ist zwar gerade, da er durch 2 teilbar ist, doch durch die +1 wird er ungerade. Siehe auch Mathe-Lektion Teilbarkeit (kostenpflichtig).

Fazit: Eine ungerade Zahl ins Quadrat ergibt eine ungerade Zahl.


III. Nun folgt eine Schlussfolgerung, eine sogenannte "äquivalente Implikation" mit: "Wenn Aussage A, dann Aussage B." und "Wenn Aussage B, dann auch Aussage A.":

(A ⇒ B) ^ (B ⇒ A) bzw. A ⇔ B