Hallo.
Wir haben folgende Integrationsaufgabe: $$f^{ ' }\left( x \right) =\frac { 5x+1 }{ 3x²+x-2 } $$ Wir haben sie wie folgt gelöst: als erstes Partialbruchzerlegung mit abc-Formel im Nenner: $${ x }_{ 1/2 }=(-1\pm \sqrt { 1²-4\cdot 3\cdot (-2) } :(2\cdot 3)$$ $${ x}_{ 1 }=\frac { 2 }{ 3 } $$ $${ x }_{ 2 }=-1$$ als nächstes Linearfaktorzerlegung: $$\frac { a }{ x-\frac { 2 }{ 3 } } +\frac { b }{ x+1 } \quad =\quad \frac { a(x+1)+b(x-\frac { 2 }{ 3 } ) }{ (x-\frac { 2 }{ 3 } )(x+1) } \quad =\quad \frac { ax+a+bx-\frac { 2 }{ 3 } b }{ nenner\quad bleibt\quad so } \quad =\quad \frac { (a+b)x+a-\frac { 2 }{ 3 } b }{ nenner\quad bleibt\quad so } $$ (a+b) muss ja dasselbe sein wie in der Ausgangsableitung im Zähler vor dem x, also 5. +a-(2/3)b muss dasselbe sein wie in der Ausgangableitung im Zähler hinter dem x, also 1. Das Gleichungssystem sieht also so aus: $$I.\quad a+b=5\quad |-b\\ II.\quad a-\frac { 2 }{ 3 } b=1\\ \\ I.\quad a=5-b\quad |Einsetzungsverfahren:\\ II.\quad 5-b-\frac { 2 }{ 3 } b=1\\ II.\quad 5-\frac { 5 }{ 3 } b=1\quad |-5\\ II.-\frac { 5 }{ 3 } b=-4\quad |:(-\frac { 5 }{ 3 } )\\ II.\quad b=\frac { 12 }{ 5 } \quad |einsetzen\quad in\quad I.:\\ I.\quad a+\frac { 12 }{ 5 } =5\quad |-\frac { 12 }{ 5 } \\ I.\quad a=\frac { 13 }{ 5 } $$ daraus folgt: $$f^{ ' }(x)=\frac { \frac { 13 }{ 5 } }{ x-\frac { 2 }{ 3 } } +\frac { \frac { 12 }{ 5 } }{ x+1 } \\ F(x)=[\frac { 13 }{ 5 } ln(|x-\frac { 2 }{ 3 } |)+\frac { 12 }{ 5 } ln(|x+1|)]+c$$ Das ist unsere Lösung, mit allen Rechenschritten. Der Prof. gibt aber folgende Lösung an: $$F(x)=\frac { 13 }{ 15 } ln(|x-\frac { 2 }{ 3 } |)+\frac { 4 }{ 5 } ln(|x+1|)+c$$ Anfangs dachten wir, dass die Lösung vom Prof. einfach falsch sei, da wir zu dritt, jeder alleine, auf unser Ergebnis kamen. Aber wenn man die Aufgabe in einen Integrationsrechner eingibt, kommt dasselbe raus:
http://www.integralrechner.de/#expr=%285x%2B1%29%2F%283x%C2%B2%2Bx-2%29&simplify=1 Was machen wir falsch? Ganz wichtig: Wir lernen für die Klausur, 2 von uns im Zweitversuch, ein Bestehen ist also notwendig und wir möchten daher bitten, auch für Idioten zu erklären, da wir Mathe als Pflichtnebenfach machen müssen (und grottenschlecht sind). Wäre also sehr lieb von euch, wenn ihr auf Fehler im Lösungsweg eingeht, sonst kapieren wir's nicht. ;) Vielen lieben Dank
