Stammfunktion von (3)/(x^2-x-2) bilden / Integral

Question

(3)/(x^{2}-x-2) Stammfunktion bilden

Brauche Lösungsweg

Answer 1

dieses Integral kannst Du mittels Partialbruchzerlegung lösen.

Answer 2

Hallo Immai,

Partialbruchzerlegung mit den Linearfaktoren der Nullstellen x = -1  und x = 2 des Nenners:

3 / (x^2-x-2)  =  3 / [ ( x+1) * (x-2) ]  =  A / ( x+1)  +  B / (x-2)

=  [  A * (x-2) + B * ( x+1) ] / [ ( x+1) * (x-2) ]

      Im Zähler ausmultiplizieren und x teiweise ausklammern:

=  [  (A+B) * x + (B-2A) ] /  [ ( x+1) * (x-2) ] 

Koeffizientenvergleich:   0 * x + 3  = (A+B) * x + (B-2A)  : 

A+B = 0  →  B = - A

B - 2A = 3   →   B + 2B = 3   →   B = 1  →  A = -1 

∫ 3 / (x^2-x-2)  dx  =  ∫ [ -1 / ( x+1)  +  1 / (x-2) ] dx  =  ln(|x-2|) - ln(|x+1|) + c  

________

Für spätere Fälle :-) : 

Dieser Online-Rechner gibt Partialbruchzerlegungen mit Lösungsweg an:

http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/partialbruchzerlegung.htm

Gruß Wolfgang

Answer 3

immai,

Um das Problem in kleinere Häppchen zu zerlegen, nutze ich die Partialbruchzerlegung. Die Nullstellen des Nenners sind -1 und 2. Ansatz:

$$\frac{3}{x^2 - x -2} = \frac{A}{x+1} + \frac{B}{x-2}$$

$$\Rightarrow 3 = Ax - 2A + Bx + B  \quad \Rightarrow A=-1; \space B=1$$

somit vereinfacht sich das ganze zu

$$\int \frac{3}{x^2 - x -2} \space dx = -\int \frac{1}{x+1} \space dx+ \int \frac{1}{x-2} \space dx$$

Und da \(\int \frac{1}{x}dx= \ln x\) ist, folgt daraus

$$= - \ln(x+1) + \ln(x-2) + C$$

Gruß Werner