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Servus!

Ich habe noch eine Aufgabe zu Vektorräumen für euch:

Es sei K K ein Korper und U={(aij)i,j=1,2Mat2(K)a11+a22=0} U=\left\{\left(a_{i j}\right)_{i, j=1,2} \in \operatorname{Mat}_{2}(K) | a_{11}+a_{22}=0\right\} .
(i) Zeigen Sie, dass U U ein Untervektorraum von Mat 2(K) _{2}(K) ist.
(ii) Bestimmen Sie eine Basis von U U (samt Beweis, dass es eine Basis ist) und berechnen Sie dim K(U) K(U) .
(iii) Ergänzen Sie Ihre Basis aus ( ii i i ) zu einer Basis von Mat 2(K) _{2}(K) (wiederum mit Beweis der Basiseigenschaft).


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Hallo,

a)

das ist die Menge der spurfreien 2x2 Matrizen. Diese haben die Gestalt

(ta12a21t)\begin{pmatrix} t & a_{12} \\ a_{21} & -t \end{pmatrix}

Offensichtlich ist jede Linearkombination zweier spurfreier Matrizen wieder spurfrei.

b)Die Basismatrizen können wir in der Darstellung aus a) ablesen:

(1001),(0100),(0010)\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0& -1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0& 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 & 0\\ 1& 0 \end{pmatrix}

c) Ergänze die Matrix

(0001)\begin{pmatrix} 0 & 0\\ 0& 1 \end{pmatrix}

Damit lassen sich alle Einträge frei erzeugen.

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