Zeigen, dass U ein Untervektorraum ist

Question

Servus!

Ich habe noch eine Aufgabe zu Vektorräumen für euch:

Es sei \( K \) ein Korper und \( U=\left\{\left(a_{i j}\right)_{i, j=1,2} \in \operatorname{Mat}_{2}(K) | a_{11}+a_{22}=0\right\} \).
(i) Zeigen Sie, dass \( U \) ein Untervektorraum von Mat \( _{2}(K) \) ist.
(ii) Bestimmen Sie eine Basis von \( U \) (samt Beweis, dass es eine Basis ist) und berechnen Sie dim \( K(U) \).
(iii) Ergänzen Sie Ihre Basis aus ( \( i i \) ) zu einer Basis von Mat \( _{2}(K) \) (wiederum mit Beweis der Basiseigenschaft).

Answer 1

Hallo,

a)

das ist die Menge der spurfreien 2x2 Matrizen. Diese haben die Gestalt

$$\begin{pmatrix} t & a_{12} \\ a_{21} & -t \end{pmatrix}$$

Offensichtlich ist jede Linearkombination zweier spurfreier Matrizen wieder spurfrei.

b)Die Basismatrizen können wir in der Darstellung aus a) ablesen:

$$\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0& -1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0& 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 & 0\\ 1& 0 \end{pmatrix}$$

c) Ergänze die Matrix

$$\begin{pmatrix} 0 & 0\\ 0& 1 \end{pmatrix}$$

Damit lassen sich alle Einträge frei erzeugen.