Einzelnen Eintrag der Inversen Matrix berechnen

Question

Servus!

Ich bräuchte einen Ansatz für folgende Aufgabe:

Berechnen Sie für folgende Matrix für \(a=1\), \(b=2\), \(c=3\) den (1,1)-Eintrag von \(A^{-1}\):

\(A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ a^2 & b^2 &c^2\end{pmatrix}\)

Ich weiß wie man die Inverse Matrix berechnet, kenne aber keine Methode zur Berechnung eines einzelnen Eintrags dieser.

Danke schon mal im Vorraus!

Comments

Es gibt die Cramersche Regel für die inverse Matrix. Eigentlich nur von theoretischem Interesse, aber zur Berechnung eines einzelnen Eintrags gut geeignet.

Answer 1

Man nehme ein CAS

\(\small C \, :=  \, \left(\begin{array}{rrr}a11&a12&a13\\a21&a22&a23\\a31&a32&a33\\\end{array}\right)\)

\(\small C^{-1} ⇒ c^{-1}_{11}= (a22 a33 - a23 a32) / (a11 a22 a33 - a11 a23 a32 - a12 a21 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 - a13 a22 a31)\)

\(\small C^{-1} ⇒ c^{-1}_{11}=\frac{ (a22 a33 - a23 a32) }{ Det(C)}\)

Comments

Gibt es dafür auch ein Allgemeines Schema, womit ich auch z.B. den (2,2)-Eintrag oder den (1,3)-Eintrag berechnen kann?

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Ja, die Determinanten Version für eine Inverse

oder

\(\scriptsize C^{-1}=  \frac{1}{Det\left(C \right)} \cdot \left(\begin{array}{rrr}a22 \; a33 - a23 \; a32&-a12 \; a33 + a13 \; a32&a12 \; a23 - a13 \; a22\\-a21 \; a33 + a23 \; a31&a11 \; a33 - a13 \; a31&-a11 \; a23 + a13 \; a21\\a21 \; a32 - a22 \; a31&-a11 \; a32 + a12 \; a31&a11 \; a22 - a12 \; a21\\\end{array}\right)  \)

Answer 2

Hallo,

z.B mit folgender Formel:

https://de.wikipedia.org/wiki/Inverse_Matrix#Darstellung_%C3%BCber_die_Adjunkte

Answer 3

Aloha :)

Ich kannte die Cramer'sche Regel bisher nicht oder habe sie wieder verdrängt. Man kann das Problem auch einfacher lösen. Wenn du die Matrix \(A\) mit der ersten Spalte \((x,y,z)^T\) der Inversen multiplizierst, muss \((1,0,0)^T\) rauskommen:

$$\left(\begin{array}{c}1 & 1 & 1\\1 & 2 & 3\\1 & 4 & 9\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1 \\0\\0\end{array}\right)$$

Als Lösung dieses Gleichungssystems erhalte ich \(x=3\).