Berechnung einer Inversen Matrix A^-1

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie die Inverse A^-1der Matrix = \( \begin{pmatrix} 8 & 3 & 3 \\ 2 & -1 & 2 \\ 3 & 4 & -1 \end{pmatrix} \)

Berechnen Sie damit die Lösung des LGS A * \( \vec{x} \) = \( \vec{b} \) für \( \vec{b} \) = \( \begin{pmatrix} -1\\2\\3\end{pmatrix} \)

Problem/Ansatz: könnt ihr mir helfen bei der Aufgabe, ich blicke durch das Thema einfach nicht durch ;(

Answer 1

https://matrixcalc.org/de/#%7B%7B8,3,3%7D,%7B2,-1,2%7D,%7B3,4,-1%7D%7D%5E(-1)

hier kannst du gucken, wie man die inverse Matrix hier berechnet.

Danach musst du die inverse Matrix benutzen, um das Gleichungssystem

A*x=b zu rechnen

wenn wir die Formel umstellen zu:

x=A^(-1)*b , dann hättest du die inv. Matrix benutzt, indem du sie mal den Vektor b gerechnet hast.

Answer 2

Aloha :)

Zur Berechnung der inversen Matrix \(A^{-1}\) zu \(A\) kannst du wie folgt vorgehen.

Schreibe die Matrix \(A\) hin und direkt daneben die Einheitsmatrix derselben Größe:$$\begin{array}{rrr|rrr|l}8 & 3 & 3 & 1 & 0 & 0 &\\2 & -1 & 2 & 0 & 1 & 0 &\\3 & 4 & -1 & 0 & 0 & 1 &\end{array}$$

Nun verwendest du elementare Gauß-Operationen und bringst damit die linke Matrix auf die Form der Einheitsmatrix und wiederholst die dazu notwendigen Schritte an der rechten Matrix:$$\begin{array}{rrr|rrr|l}8 & 3 & 3 & 1 & 0 & 0 &\\2 & -1 & 2 & 0 & 1 & 0 &\\3 & 4 & -1 & 0 & 0 & 1 &-\text{Zeile 2}\\\hline8 & 3 & 3 & 1 & 0 & 0 &-8\cdot\text{Zeile 3}\\2 & -1 & 2 & 0 & 1 & 0 &-2\cdot\text{Zeile 3}\\1 & 5 & -3 & 0 & -1 & 1 &\\\hline0 & -37 & 27 & 1 & 8 & -8 &-3\cdot\text{Zeile 3}\\0 & -11 & 8 & 0 & 3 & -2 &\\1 & 5 & -3 & 0 & -1 & 1 &\\\hline0 & -4 & 3 & 1 & -1 & -2 &\\0 & -11 & 8 & 0 & 3 & -2 &-3\cdot\text{Zeile 1}\\1 & 5 & -3 & 0 & -1 & 1 &\\\hline0 & -4 & 3 & 1 & -1 & -2 &+4\cdot\text{Zeile 2}\\0 & 1 & -1 & -3 & 6 & 4 &\\1 & 5 & -3 & 0 & -1 & 1 &-5\cdot\text{Zeile 2}\\\hline0 & 0 & -1 & -11 & 23 & 14 &\cdot(-1)\\0 & 1 & -1 & -3 & 6 & 4 &-\text{Zeile 1}\\1 & 0 & 2 & 15 & -31 & -19 &+2\cdot\text{Zeile 1}\\\hline0 & 0 & 1 & 11 & -23 & -14 &\text{wird Zeile 3}\\0 & 1 & 0 & 8 & -17 & -10 &\\1 & 0 & 0 & -7 & 15 & 9 &\text{wird Zeile 1}\\\hline1 & 0 & 0 & -7 & 15 & 9 &\\0 & 1 & 0 & 8 & -17 & -10 &\\0 & 0 & 1 & 11 & -23 & -14 &\\\hline\hline\end{array}$$

Damit haben wir die inverse Matrix gefunden:$$A=\left(\begin{array}{rrr}8 & 3 & 3\\2 & -1 & 2\\3 & 4 & -1\end{array}\right)\quad;\quad A^{-1}=\left(\begin{array}{rrr}-7 & 15 & 9\\8 & -17 & -10\\11 & -23 & -14\end{array}\right)$$

Damit kannst du die Lösung des Gleichungssystems berechnen:

$$A\cdot x=\begin{pmatrix}-1\\2\\3\end{pmatrix}\quad\implies\quad \vec x=A^{-1}\cdot\begin{pmatrix}-1\\2\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\phantom-64\\-72\\-99\end{pmatrix}$$

Comments

Vielen lieben Dank für deine Mühe Ich weiß das sehr zu schätzen !