Abbildungsmatrix bzgl. Basis aus Matrizen schreiben

Question

Aufgabe:

Es sei A eine 2x2 Element von C^2x2  und eine Abbildung definiert als L_A: C^2x2 C^2x2    X→AX

Nun sei A=\( \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -2 & 2 \end{pmatrix} \)

bestimmen Sie die Abbildungsmatrix von L_A bezüglich der Basis

B = { \( \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \), \( \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \), \( \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \) , \( \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \)}

Problem/Ansatz:

Ich habe nun für jede Matrix b_j aus B die Multiplikation Ab_j durchgeführt

und kam beispielsweise auf Ab₁ = \( \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -2 & 0 \end{pmatrix} \)} und in der Lösung habe ich erkannt, dass sich die Einträge 1; 0; -2; 0 in der ersten Zeile der Abbildungsmatrix befinden, jedoch fällt es mir schwer nachzuvollziehen warum das Sinn machen soll. Klar ist, dass in der Abbildungsmatrix bei einem Basiswechsel in der n-ten Zeile, der n-te Komponentenvektor der alten Basis, dargestellt mit der neuen Basis steht. Aber vor allem wundere ich mich, dass die Abbildungsmatrix A ∈ C^4x4 und keine 2x2 Matrix ist, wobei die Abbildung L_A doch von 2x2 Matrizen nach 2x2 Matrizen definiert war.

Kann mir jemand beim Verständnis weiterhelfen?

Ich muss dazu sagen, dass ich zuvor noch nie mit Basen bestehend aus Matrizen umgegangen bin.

Danke im Voraus!

Comments

Aber vor allem wundere ich mich, dass die Abbildungsmatrix A ∈ C4x4 und keine 2x2 Matrix ist, wobei die Abbildung LA doch von 2x2 Matrizen nach 2x2 Matrizen definiert war.

Die Darstellungsmatrix beschreibt wie die Abbildung auf die Koordinatenvektoren der Vektoren wirkt.

Zwischen Matrix (=Vektor) und zugehörigem Koordinatenvektoren gilt mit der gewählten Basis die Korrespondenz:

\( \begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix} \longleftrightarrow \begin{pmatrix}a\\b\\c\\d\end{pmatrix} \)

Das sind 4-elementige Vektoren. Also muss deine Darstellungsmatrix auch 4x4 sein.

Answer 1

Aber vor allem wundere ich mich, dass die Abbildungsmatrix A ∈ C4x4 und keine 2x2 Matrix ist,

In der Abbildungsmatrix stehen in der i-ten Spalte die Faktoren , mit denen man

das Bild des i-ten Basisvektors darstellen kann.

Du hast ja schon L_A(b₁) berechnet: \(  L_A(b_1) = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -2 & 0 \end{pmatrix} \)

\(   =  1\cdot b_1 + 0\cdot b_2 +(-2)\cdot b_3 + 0\cdot b_4 \)

Damit hast du schon die erste Spalte der Abbildungsmatrix

1     ?    ?     ?
0    ?   ?     ?
-2    ?   ?     ?
0    ?   ?     ?

Comments

Alles klar, Danke!
Aber dadurch, dass die Abbildung als Matrizenmultiplikation der Abbildungsmatrix A und der abzubildenden Matrix X definiert, also;
L_A: X → AX
wobei A eine 4x4 und und X eine 2x2 Matrix ist funktioniert die Multiplikation bzw. die Abbildung nicht mehr, oder wo liegt mein Denkfehler?

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Du verwendest das Symbol A für 2 verschieden Objekte: Einmal für die Matrix A (2-2), die die Abbildung L definiert und zum zweiten für die gesuchte Abbildungsmatrix. Die Abbildungsmatrix wirkt auf die Koordinatenvektoren, die 4-dimensional sind....Du musst ihr eine andere Bezeichnung geben.

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Achso, das macht Sinn! Vielen Dank

Ich habe also die Abbildungsmatrix A (2x2)

und A_B (4x4, die Abbildungsmatrix zur Basis B)

angenommen ich möchte eine Matrix X mit A_B abbilden und nicht mit A, dann muss ich auch X zuerst mit der Basis B darstellen wodurch ich eine 4x4 Matrix X_B erhalte und problemlos mit A_B multiplizieren kann?

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Wenn Du X on der Basis B darsteller,  erhältst Du einen 4-d-Vekor, siehe oben die anderen Beiträge

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Du kannst das sogar allgemein aufschreiben:

Sei X =   a  b
            c  d

irgendeine Matrix aus C^2x2 .

==>  \(   X =  a\cdot b_1 + b\cdot b_2 +c\cdot b_3 + d\cdot b_4 \)

Also sind die Koordinaten des Bildes von X

\( L_A(X) =Abbildungsmatrix *   \begin{pmatrix} a\\b\\c\\d \end{pmatrix}   \)

Das gibt wieder einen Vektor mit 4 Komponenten und diese sind

die Faktoren,

mit denen du analog zu \(   a\cdot b_1 + b\cdot b_2 +c\cdot b_3 + d\cdot b_4 \)

das Bild darstellen kannst.