Aloha :)
Die Abbildungsvorschrift können wir bezüglich der Standardbasis \((1,x,x^2)\) vektoriell schreiben:$$\begin{pmatrix}a_0\\a_1\\a_2\end{pmatrix}\mapsto\begin{pmatrix}a_0\\2a_0-a_1\\2a_0-a_2\end{pmatrix}=a_0\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}+a_1\begin{pmatrix}0\\-1\\0\end{pmatrix}+a_2\begin{pmatrix}0\\0\\-1\end{pmatrix}=\underbrace{\left(\begin{array}{rrr}1 & 0 & 0\\2 & -1 & 0\\2 & 0 & -1\end{array}\right)}_{\eqqcolon A}\begin{pmatrix}a_0\\a_1\\a_2\end{pmatrix}$$
Diese Matrix hat die drei Eigenwerte und drei Eigenvektoren:$$\lambda_1=-1\quad;\quad\vec v_1=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}$$$$\lambda_2=-1\quad;\quad\vec v_2=\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}$$$$\lambda_3=+1\quad;\quad\vec v_3=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$$
Bezüglich der Basis$$P_2=\left(\,x^2\;;\;x\;;\;1+x+x^2\,\right)$$hat die Abbildungsmatrix daher die Gestalt:$$A_2=\left(\begin{array}{rrr}-1 & 0 & 0\\0 & -1 & 0\\0 & 0 & +1\end{array}\right)$$
Die Eigenwerte und Eigenvektoren habe ich jetzt nicht ausführlich bestimmt, das ist ja Standard-Handwerk. Falls du damit aber Schwierigkeiten haben solltest, melde dich in den Kommentaren einfach nochmal.