Bestimmen Sie die Abbildungsmatrix A von T bzgl.

Question

Text erkannt:

Aufgabe 6 (20 Punkte) Es sei \( \mathcal{P}_{2} \) der Vektorraum aller Polynome vom Grad \( \leq 2 \). Die lineare Abbildung \( T: \mathcal{P}_{2} \rightarrow \mathcal{P}_{2} \) sei definiert durch
\( T\left(a_{0}+a_{1} x+a_{2} x^{2}\right):=a_{0}+\left(2 a_{0}-a_{1}\right) x+\left(2 a_{0}-a_{2}\right) x^{2} . \)
a) Bestimmen Sie die Abbildungsmatrix \( A \) von \( T \) bzgl. der Monombasis \( \left\{1, x, x^{2}\right\} \) von \( \mathcal{P}_{2} \) (sowohl im Definitionsals auch im Wertebereich von \( T \) ).
b) Bestimmen Sie eine Basis von \( \mathcal{P}_{2} \) so, dass die Abbildungsmatrix \( A \) von \( T \) bzgl. dieser neuen Basis (sowohl im Definitions- als auch im Wertebereich von \( T \) ) eine Diagonalmatrix ist.

Aufgabe:

Das ist eine Aufgabe aus einer Altklausur bei uns gewesen. Ich hadere schon bereits die ganze zeit und wäre sehr dankbar für eine ausführliche Lösung! Vielen dank im voraus!

Problem/Ansatz:

Answer 1

Aloha :)

Die Abbildungsvorschrift können wir bezüglich der Standardbasis \((1,x,x^2)\) vektoriell schreiben:$$\begin{pmatrix}a_0\\a_1\\a_2\end{pmatrix}\mapsto\begin{pmatrix}a_0\\2a_0-a_1\\2a_0-a_2\end{pmatrix}=a_0\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}+a_1\begin{pmatrix}0\\-1\\0\end{pmatrix}+a_2\begin{pmatrix}0\\0\\-1\end{pmatrix}=\underbrace{\left(\begin{array}{rrr}1 & 0 & 0\\2 & -1 & 0\\2 & 0 & -1\end{array}\right)}_{\eqqcolon A}\begin{pmatrix}a_0\\a_1\\a_2\end{pmatrix}$$

Diese Matrix hat die drei Eigenwerte und drei Eigenvektoren:$$\lambda_1=-1\quad;\quad\vec v_1=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}$$$$\lambda_2=-1\quad;\quad\vec v_2=\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}$$$$\lambda_3=+1\quad;\quad\vec v_3=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$$

Bezüglich der Basis$$P_2=\left(\,x^2\;;\;x\;;\;1+x+x^2\,\right)$$hat die Abbildungsmatrix daher die Gestalt:$$A_2=\left(\begin{array}{rrr}-1 & 0 & 0\\0 & -1 & 0\\0 & 0 & +1\end{array}\right)$$

Die Eigenwerte und Eigenvektoren habe ich jetzt nicht ausführlich bestimmt, das ist ja Standard-Handwerk. Falls du damit aber Schwierigkeiten haben solltest, melde dich in den Kommentaren einfach nochmal.

Comments

Hey, ich hätte eine kleine frage c:
Die b) habe ich irgendwie gar nicht verstanden, wärst du so lieb und könntest mir das erklären, weil die Basis ist doch auch schon von den Eigenvektoren gegeben oder?
Vielen Dank im voraus

Lg

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Oha, das Diagonalisieren einer Matrix ist Standard-Handwerk. Das hier zu erklären, wäre sehr aufwändig für mich. Stattdessen empfehle ich dir folgendes Video

https://www.youtube.com/watch?v=KmFq0Pl2nxM

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ah vielen dank, aber wie kommt den jetzt die Basis zurstande von deinen lösungen

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Die Basis sind die Eigenvektoren zu den berechneten Eigenwerten.

Answer 2

Hallo

die Spalten der Matrix sind die Bilder der Basisvektoren.

also x auf (2,-1,0) ist der zweite Spaltenvektor.

zum) das übliche, Eigenvektoren finden

Gruß lul

Comments

Ich habe da noch eine Frage zur b) und zwar wie genau du die Diagonalmatrix nun aufgestellt hast. Hast du einfach die Eigenwerte mit der 3x3 Einheitsmatrix multipliziert?