Gleichungssystem mit der inversen 4x4-Matrix berechnen

Question

Aufgabe:

Lösen Sie das 4x4 Gleichungssystem mithilfe der inversen Matrix.

Problem/Ansatz:

Kann mir jemand bitte sagen, ob es dazu irgendwelche spezielle Regeln, Formeln oder auch Videos gibt, wie man sowas berechnet bzw. man bei so einer Aufgabe vorgeht?

Text erkannt:

\( \begin{aligned} 2 x_{1}+x_{2}-3 x_{3}+x_{4} & =108 \\ x_{1}+x_{2}+2 x_{3}+x_{4} & =108 \\ 3 x_{1}+2 x_{2}+x_{3}-2 x_{4} & =4 \\ -x_{1}+3 x_{2}-x_{3}+3 x_{4} & =54\end{aligned} \)

Answer 1

Wie bei deinen anderen Fragen auch. Schreibe das System in der Form \(Ax=b\) und berechne mit Gauß die Inverse \(A^{-1}\). Die Lösung ist dann \(x=A^{-1}b\). Das funktioniert auch mit 1000 Gleichungen...

Comments

Achso Okey Danke.

Answer 2

Du solltest zunächst damit anfangen, die Inverse zu berechnen. Ich komme dabei auf folgende Lösung

$$\begin{pmatrix} 2 & 1 & -3 & 1 \\ 1 & 1 & 2 & 1 \\ 3 & 2 & 1 & -2 \\ -1 & 3 & -1 & 3 \end{pmatrix}^{-1} = \frac{1}{108} \cdot \begin{pmatrix} 28 & 32 & 0 & -20 \\ -15 & -21 & 27 & 30 \\ -16 & 28 & 0 & -4 \\ 19 & 41 & -27 & -2 \end{pmatrix}$$

Tippfehler und/oder Rechenfehler nicht ausgeschlossen. Wie man es kontrolliert, weißt du vermutlich. Es muss ja A * A^{-1} = E gelten. Das kannst du überprüfen. Dann kannst du auch gleich probieren ob du zwei Matrizen miteinander multiplizieren kannst.