es geht hier konkret um die Substitutionsmethode beim Integrieren (Stammfunktionen). Es geht mir hier genauer gesagt um den mathematischen Hintergrund und die richtige Handhabung der Methode. Dass man durch Substitution eine Funktion erhalten möchte, wovon man die Stammfunktion weiß, ist mir klar.
Betrachten wir zum Beispiel das Integral von \( \frac{x}{7x^{2}+5} \).
Man substituiert hier u=7\( x^{2} \)+5
Danach folgt für mich der erste nicht ganz Verständliche Teil (1):
u wird nun nach x abgleitet: \( \frac{du}{dx} \) = 14x
Warum wird hier abgeleitet?
Dann folgt der zweite nicht klare Teil (2):
dx muss "substituiert werden" mit dx = \( \frac{du}{14} \)
Hier wird quasi nach dx "umgeformt" wie bei einer Gleichung.
Beim Differenzieren ist \( \frac{du}{dx} \) nur symbolisch gemeint und kein Bruch, sprich: u wird nach x abgleitet. Wie lautet hier die klare Erklärung dazu? Ich habe schon was von Umkehrfunktion und umgekehrte Kettenregel gehört, doch ich blicke hier nicht ganz durch.
Die Stammfunktion ist dann \( \frac{ln(7x^{2}+5)}{14} \)
Ich kenne dieses "Substituier-Schema" mit \( \frac{du}{dx} \) nach dx "umformen" nur aus der Physik bzw. Oberstufe. Ich habe gehört, in der Mathematik sei diese Schreibweise eher nicht gerne gesehen. Wie schreibt man die Berechnung der Stammfunktion korrekt in der Mathematiker-Schreibweise an?
Vielen Dank.
