0 Daumen
268 Aufrufe

Aufgabe:

\(\displaystyle \int \frac{x-3}{x^{2}-6x+10} \, dx \)


Problem/Ansatz:

… Es soll das Integral mit der Substitutionsmethode berechnet werden. Wie mache ich das?

Avatar von

2 Antworten

0 Daumen
 
Beste Antwort

Aloha :)

Hier kannst du das Integral sofort hinschreiben:$$\int\frac{x-3}{x^2-6x+10}\,dx=\frac12\int\frac{2x-6}{x^2-6x+10}\,dx=\frac12\ln\left|x^2-6x+10\right|\,dx+\text{const}$$

Wenn der Zähler die Ableitung des Nenners ist (wie hier), kannst du verwenden:$$\int\frac{f'(x)}{f(x)}\,dx=\ln|f(x)|+\text{const}$$

Dieses sehr nützliche Standard-Integral kannst du mit Subsitution schnell herleiten:$$u=f(x)\implies\frac{du}{dx}=f'(x)\implies dx=\frac{du}{f'(x)}\implies$$$$\int\frac{f'(x)}{f(x)}\,dx=\int\frac{f'(x)}{u}\,\frac{du}{f'(x)}=\int\frac1u\,du=\ln|u|+\text{const}=\ln|f(x)|+\text{const}$$

Avatar von 152 k 🚀
0 Daumen

Probiere mal

z = x^2 - 6·x + 10
1 dz = 2·x - 6 dx
dx = dz/(2·x - 6)

∫ (x - 3)/(x^2 - 6·x + 10) dx
= ∫ (x - 3)/z dz/(2·x - 6)
= ∫ 0.5/z dz
= 0.5·LN(z) + C

Resubst

= 0.5·LN(x^2 - 6·x + 10) + C

Avatar von 487 k 🚀

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community