Aloha :)
Hier kannst du das Integral sofort hinschreiben:$$\int\frac{x-3}{x^2-6x+10}\,dx=\frac12\int\frac{2x-6}{x^2-6x+10}\,dx=\frac12\ln\left|x^2-6x+10\right|\,dx+\text{const}$$
Wenn der Zähler die Ableitung des Nenners ist (wie hier), kannst du verwenden:$$\int\frac{f'(x)}{f(x)}\,dx=\ln|f(x)|+\text{const}$$
Dieses sehr nützliche Standard-Integral kannst du mit Subsitution schnell herleiten:$$u=f(x)\implies\frac{du}{dx}=f'(x)\implies dx=\frac{du}{f'(x)}\implies$$$$\int\frac{f'(x)}{f(x)}\,dx=\int\frac{f'(x)}{u}\,\frac{du}{f'(x)}=\int\frac1u\,du=\ln|u|+\text{const}=\ln|f(x)|+\text{const}$$