∫ x·arctan(x^2) dx
Subst. u = x^2
1 du = 2·x dx --> dx = du/(2·x)
∫ x·arctan(u) du/(2·x)
∫ 1/2·arctan(u) du
Partielle Integration
∫ 1/2·arctan(u) du = 1/2·u·arctan(u) - ∫ 1/2·u·1/(u^2 + 1) du
Wir kümmern uns jetzt zunächst um das folgende Integral
∫ 1/2·u·1/(u^2 + 1) du
Subst. v = u^2 + 1
1 dv = 2·u du --> du = dv/(2·u)
∫ 1/2·u·1/v dv/(2·u)
∫ 1/4·1/v dv
1/4·LN(v)
Zurück zum vorherigen Integral
∫ 1/2·arctan(u) du = 1/2·u·arctan(u) - 1/4·LN(v)
Resubst. v = u^2 + 1
1/2·u·arctan(u) - 1/4·LN(u^2 + 1)
Resubst. u = x^2
1/2·x^2·arctan(x^2) - 1/4·LN(x^4 + 1)
∫ x·arctan(x^2) dx = 1/2·x^2·arctan(x^2) - 1/4·LN(x^4 + 1)