Berechne Integrale von f(x)=x^3/(1+x^2)^0.5 und g(x)=1/(1-x^2)^0.5 mit Substitutionsregel

Question

Berechnen Sie die folgenden Integrale mit der Substitutionsregel:

$$\int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { x ^ 3 } { \sqrt { 1 + x ^ 2 } } d x \int _ { 0 } ^ { 1 / 2 } \frac { 1 } { \sqrt { 1 - x ^ 2 } } d x$$

Comments

Hier findest du die uneigentlichen Integrale von ähnlichen Funktionen:

https://www.mathelounge.de/8965/bestimme-die-uneigentlichen-integrale-von-f-x-1-x-und-g-x-1-1-x-2

Answer 1

∫ x^3 / √(1 + x^2) dx

Substituieren:
u = x^2
1 du = 2x dx
dx = du / (2x)

∫ x^3 / √(1 + u) du / (2x)
= ∫ 1/2·u / √(1 + u) du

Substituieren:
v = 1 + u
1 dv = 1 du
du = dv

∫ 1/2·(v - 1) / √v dv
= ∫ 1/2·(v / √v - 1 / √v) dv
= ∫ 1/2·(v^{0.5} - v^{-0.5}) dv
= 1/2·(2/3·v^{1.5} - 2·v^{0.5})
= 1/3·v^1.5 - v^{0.5}

 

Ab hier solltest Du dann eigentlich selber klar kommen oder?

Achtung. Denke daran die Grenzen mit zu ersetzen!

Comments

∫ 1 / √(1 - x^2) dx

Substituieren:

x = sin(u)
1 dx = cos(u) du
dx = cos(u) du

∫ 1 / √(1 - sin(u)^2) * cos(u) du
∫ cos(u) / √(cos(u)^2) du
∫ cos(u) / cos(u) du
∫ 1 du
= u

Rücksubstituieren:

u = arcsin(x)

Also: ∫ 1 / √(1 - x^2) dx = arcsin(x)

Auch hier solltest Du jetzt alleine klar kommen.

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Könnte jmnd die Aufgaben zu ende rechnen?

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Wo hast du genau die Schwierigkeiten ?

Bei der ersten Aufgabe musst du nur noch die neuen Grenzen über die Substitutionen ausrechnen und dann in die Funktion einsetzen.

Bei der zweiten Aufgabe sind nur noch die Integrationsgrenzen einzusetzen.

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Ich komme irgendwie auf ganz andere ergebnisse :( wäre nett wenn du mir schritt für schritt zeigen könntest wie ich drauf komme! Wäre super lieb.

:)