Substitutionsregel für Integrale, periodische Funktionen, Grenzen nicht eindeutig

Question

Folgendes Integral mit \(R>0\):

\(\int \limits_{0}^{R}\sqrt{R^2-x^2}dx \) Setze \(x=Rcos(t)\Rightarrow dx=-Rsin(t)dt\).

Meine Frage bezieht sich auf die Grenzen \(R=Rcos(t)\) gilt für alle \(t= 2k\pi\), wobei \(k\in\mathbb{N}_0\).

Außerdem \(0=Rcos(t)\) gilt für alle \(t= \frac{2k+1}{2}\pi\), wobei \(k\in\mathbb{N}_0\).

Also:

\(\int \limits_{0}^{R}\sqrt{R^2-x^2}dx=-R^2\int \limits_{?}^{?}sin^2(t)dt\)

Welche Grenzen würdet ihr verwenden, und warum?

Answer 1

Aloha :)

$$I=\int\limits_0^R\sqrt{R^2-x^2}\,dx=\;???$$

Wenn du darin die folgende Substitution durchführst:$$x(t)=R\cos(t)\quad\implies\quad dx=-R\sin(t)\,dt$$ist die Umkehrung davon:$$t(x)=\arccos\left(\frac xR\right)$$Die arccos-Funktion liefert Winkel im Bereich \([0;\pi]\) zurück. Daher sind die naheliegendsten Werte für die Grenzen:$$t(0)=\frac\pi2\quad;\quad t(R)=0$$Das Integral geht dann über in:$$I=\int\limits_{\pi/2}^0\sqrt{R^2-R^2\cos^2(t)}(-R\sin(t))\,dt=\int\limits_{\pi/2}^0-R^2\sin^2(t)\,dt=R^2\int\limits_0^{\pi/2}\sin^2(t)\,dt$$$$\phantom I=R^2\int\limits_0^{\pi/2}\left(\frac12-\frac12\cos(2t)\right)dt=R^2\left[\frac t2-\frac14\sin(2t)\right]_0^{\pi/2}=\frac{\pi R^2}{4}$$

Comments

Krass, wie umfangreich deine Antworten meistens sind !

Danke ! :)

Answer 2

Was willst du hier mit Periodizität?

Die Funktion f(x)=\( \sqrt{R^2-x^2} \) beschreibt einen einzigen Halbkreis. Der Kreis hat den Mittelpunkt im Ursprung und den Radius R; der Halbkreis ist derjenige Teil davon, der nicht unterhalb der x-Achse liegt.

Der Winkel t geht damit nur von 0 bis pi.