Substitutionsmethode Integralrechnung: : ∫xarctan(x^2)dx

Question

Ich habe folgendes Integral zu berechnen und kenne auch die Lösung dazu nur verstehe sie leider nicht ganz.

Zu berechnen ist: ∫xarctan(x^2)dx

Ich weiß ich muss x^2 substituieren und erhalte dann 1/2∫arctan(u) du. Anschließend integriere ich partiell und erhalte 1/2(u*arctanu-∫u/(u^2 +1)du. So weit ist bis jetzt noch alles klar.

Nur die letzte Substitution verwirrt mich jetzt.  Es wird v=u^2+1 gesetzt. Wenn ich das differenziere bekomme ich dv=2u*du und anschließend wird auf dv/du=2u umgeformt. Diesen Schritt verstehe ich nicht. Warum forme ich die Substitution so um? Ich verstehe ich nicht wie ich das nun in mein Integral einfügen soll!

Ich hoffe ihr könnt mir helfen. Wäre euch sehr dankbar dafür!

Answer 1

1/2(u*arctanu-∫u/(u² +1).

Betrachte mal nur

∫u/(u² +1) du

Es wird v=u²+1 gesetzt. Wenn ich das differenziere bekomme ich dv=2u*du und anschließend wird auf dv/du=2u umgeformt. Diesen Schritt verstehe ich nicht.

Du hast ja im Integral du stehen. Dazu musst du ja für du etwas einsetzen, also

wäre vielleicht klüger   du = dv / 2u umzuformen. Dann hast du

∫u/(u² +1) du 

= ∫u/v   dv / u   und kannst jetzt die u's kürzen

= ∫ 1/v   dv

= ln(v)   + C  und jetzt alles wieder zurück

= ln ( u²+1) + C

Answer 2

v=u^2+1

dv/du= 2u

du=dv/ 2u

das u kürzt sich heraus.

---> =  u/2 *arctan(u) -1/4 ∫1/v dv

=  u/2 *arctan(u) -1/4 * ln|v| +C

Jetzt brauchst Du nur noch resubstituieren

Answer 3

∫ x·arctan(x^2) dx

Subst. u = x^2

1 du = 2·x dx --> dx = du/(2·x)

∫ x·arctan(u) du/(2·x)

∫ 1/2·arctan(u) du

Partielle Integration

∫ 1/2·arctan(u) du = 1/2·u·arctan(u) - ∫ 1/2·u·1/(u^2 + 1) du

Wir kümmern uns jetzt zunächst um das folgende Integral

∫ 1/2·u·1/(u^2 + 1) du

Subst. v = u^2 + 1

1 dv = 2·u du --> du = dv/(2·u)

∫ 1/2·u·1/v dv/(2·u)

∫ 1/4·1/v dv

1/4·LN(v)

Zurück zum vorherigen Integral

∫ 1/2·arctan(u) du = 1/2·u·arctan(u) - 1/4·LN(v)

Resubst. v = u^2 + 1

1/2·u·arctan(u) - 1/4·LN(u^2 + 1)

Resubst. u = x^2

1/2·x^2·arctan(x^2) - 1/4·LN(x^4 + 1)

∫ x·arctan(x^2) dx = 1/2·x^2·arctan(x^2) - 1/4·LN(x^4 + 1)

Comments

Danke für die Zahlreichen Antworten. Ja ich hätte auch du=dv/(2u) gerechnet das erscheint mir auch viel logischer aber laut Integralrechner.de führt du/dv=2u zum Ziel und ich wollte verstehe wie dieser Lösungsansatz funktioniert.

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du/dv=2u musst du nach du auflösen, denn du möchtest ja das du ersetzen. das gibt letztendlich auch du = dv/(2u)