Komplexe Zahlen: | (z-i) / (z-1) | = 1 .. Lösungsmenge.

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Gleichung |(z-i)/(z-1)| = 1 für z ∈ ℂ und skizzieren Sie diese Menge in der komplexen Zahlenebene.

Problem/Ansatz:

Ich komme nicht ganz an die Lösungsmenge heran. Bzw. weiß ich nicht, wie ich weiter auflösen sollte, wenn ich bei: |z-i| = |z-1| angelangt bin.

Answer 1

$$\left|\frac{z-i}{z-1}\right| = 1$$

$$\left|\frac{x+yi-i}{x+yi-1}\right| = 1$$
$$\left|\frac{x+(y-1)i}{(x-1)+yi}\right| = 1$$
$$\frac{x^2+(y-1)^2}{(x-1)^2+y^2} = 1$$
$$\frac{x^2+y^2-2y+1}{x^2-2x+1+y^2} = 1$$

$${x^2+y^2-2y+1}={x^2-2x+1+y^2}$$
$$ x=y $$

https://www.desmos.com/calculator/djowsnm8gy

Answer 2

Hallo

 da steht in Worten: z ergibt die Menge der Punkte, die von 1 und i denselben Abstand haben

Was das ist solltest du noch aus der Schule wissen!

Wenn man da gar nicht sieht muss man halt z=x+iy setzen und stur ausrechnen .

|z-1|^2=(x-1)^2+y^2, |z-i|^2=x^2+(y-i)^2 gleichsetzen.

Gruß lul

Comments

Das Erste hilft mir schon mal weiter. Und rauskommen müsste ja, wie bei der anderen Antwort. x = y. Grafisch dargestellt also eine einfache Linie durch 0. Bei dem jeder Punkt gleich weit von 1 und i entfernt ist.

Bei |z-1|2=(x-1)2+y2, |z-i|2=x2+(y-i)2 komme ich aber nicht auf x = y.

\( x^2 + (y-i)^2 = (x-1)^2 + y^2 \)

\( x^2 + y^2 -2yi - 1 = x^2 - 2x + 1 +y^2 \)   / -x^2 / -y^2

\( -2yi - 1 = -2x + 1 \)   /+1 /+2yi

\( 0 = -2x + 2yi + 2 \)   / :2

\( 0 = -x + yi + 1 \)

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Es muss y-1 heißen, nicht y-i.