mehrdimensionale funktionen extrema

Question

Aufgabe:

f(x, y)= x³−3x²y+3xy²+y³-3x-21y

Problem/Ansatz:

df/dx = 3x²-6xy+3y²-3

df/dy = -3x²-6xy+3y²-21

grad f=\( \begin{pmatrix} df/dx\\df/dy\\ \end{pmatrix} \)=0

Kann mir jemand sagen wie ich x und y herausbekomme?

Comments

Mein Taschenrechner hat ein lokales Minimum bei (3, 2) und ein lokales Maximum bei (-3, -2) gefunden.

Answer 1

Aloha :)

Die beiden partiellen Ableitungen müssen \(0\) sein:

$$0\stackrel{!}{=}\frac{\partial f}{\partial x}=3x^2-6xy+3y^2-3=3(x^2-2xy+y^2)-3=3(x-y)^2-3$$$$\Rightarrow\quad(x-y)^2=1\quad\Rightarrow\quad x-y=\pm1\quad\Rightarrow\quad \underline{x=y\pm1}$$$$0\stackrel{!}{=}\frac{\partial f}{\partial y}=-3x^2+6xy+3y^2-21=(-3x^2+6xy-3y^2)+6y^2-21$$$$\phantom{0}=-3\underbrace{(x-y)^2}_{=1}+6y^2-21=-3+6y^2-21=6y^2-24$$$$\Rightarrow\quad y^2=4\quad\Rightarrow\quad \underline{y=\pm2}$$

Damit haben wir 4 mögliche Extrempunkte gefunden:$$(1|2)\;;\;(3|2)\;;\;(-3|-2)\;;\;(-1|-2)$$

Comments

wobei die bei x = ±1 Sattelpunkte sind

Answer 2

Verbessere den VZ-Fehler in der 2. Zeile (df/dy), dann setze beide Zeilen = 0 und addiere beide Zeilen. Dann ergibt sich y = ± 2.

Setzte das in die erste und die zweite Zeile ein. Dann bekommst du alle möglichen x-Werte: ±1 und ±3.

Da beide Gleichungen erfüllt sein müssen, bleiben als Kandidaten für Extrempunkte:

(1,2), (-1,-2), (3,2), (-3,-2)

Die Hessematrix lautet: \( \begin{pmatrix} 6x-6y & -6x+6y \\ -6x+6y & 6x+6y \end{pmatrix} \) = 36 \( \begin{pmatrix} x-y & -x+y \\ -x+y & x+y \end{pmatrix} \)

und   det (H)= 36* det \( \begin{pmatrix} x-y & -x+y \\ -x+y & x+y \end{pmatrix} \) = 36 (x²-y² -x²+2xy -y²)=-72y(y-x).

Da für (1,2)  a₁₁<0 und det (H)<0, ist die symmetrische Matrix H indefinit, also liegt ein Sattelpunkt (1,2) vor.

Da für (-1,-2)  a₁₁>0 und det (H)<0, ist H indefinit, also liegt ein Sattelpunkt (-1,-2) vor.

Da für (3,2)  a₁₁>0 und det (H)>0, ist H positiv-definit, also liegt ein Tiefpunkt (3,2) vor.

Da für (-3,-2)  a₁₁<0 und det (H)>0, ist H negativ-definit, also liegt ein Hochpunkt (-3,-2) vor.