Was bedeutet der Vorfaktor 1/10 vor einer Integration?

Question

ich habe eine Aufgabe in der ich halt die Bedeutung des Vorfaktors auf den Sachzusammenhang beziehen muss, aber ich verstehe die mathematische bedeutung dieses Vorfaktors nicht ganz.

Ist dass dann die durchschnittliche Fläche unter dem Graphen oder wie?

Comments

Hier fehlt mindestens die Angabe der Ausgangsfunktion.

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Wie meinst du?

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Nicht jede Integration hat einen Vorfaktor
von 1/10 .
Deshalb sollte ich die Ausgangsfunktion wissen
um herausfinden zu können woher der
Vorfaktor kommt.

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okay die funktion lautet f(x)=4+5*e^(-x) -4*e^(-0,1*x)

Und die Integration dementsprechend: 0∫^10 * f(x) *dx

Der Vorfaktor ist 1/10 also 1/10  *  0∫^10 * f(x) *dx

Nun soll ich die Bedeutung dessen erläutern

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Meinst du vielleicht den Satz:

∫a·f(x) dx=a·∫f(x) dx ?

Das Integral des a-fachen einer Funktion f ist gleich den a-fachen Integral von f.

Um welchen Sachzusammenhang geht es denn?

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die funktion lautet f(x)=4+5*e^(-x) -4*e^(-0,1*x)

Und die Integration dementsprechend: 0∫10 * f(x) *dx

Der Vorfaktor ist 1/10 also 1/10  *  0∫10 * f(x) *dx

Nun soll ich die Bedeutung dessen erläutern

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∫[4+5*e^-x-4*e^-0,1*x]dx=4x-5e^-x+40e^-0,1x. Den Vorfaktor 1/10 sehe ich nur in einem Exponenten.

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Ich soll halt erklären was das für eine Bedeutung im Sachzusammenhang hat und die Funktion beschreibt die Entwicklung einer Fuchspopulation f(x) in 100 und x in jahren

Da die Fläche unter den Graphen mir die gesamte Population angibt ist jetzt die Frage was dann die Fläche unter dem Graphen im Kontext angibt, wenn ich 1/10 davor have. Ich habe antizipiert, dass das dann die durchschnittliche Population pro Jahr wäre, aber ich weiß nicht ob das stimmt...

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Wenn die Entwicklung der Population durch die Funktion f beschrieben wird, und dann aus irgend einem Grunde mit 1/10·f, dann ist zu jedem Zeitpunkt die Integralfunktion F von f auch 1/10 von F.

∫\( \frac{1}{10} \) f(t) dt = \( \frac{1}{10} \) ·∫f(t)dt

Answer 1

Geht es um das arithmetische Mittel einer stetigen Funktion in einem Intervall$$\frac1{b-a}\int_a^bf(x)\,\mathrm dx\ ?$$

Comments

JA! das ist es

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Jo mei Mathelauch,
zunächst sollte also die Fläche bestimmt werden
und dann der Durchschnittswert.
Ohne weitere Hintergrundinformationen
wäre der Sachverhalt wohl ein
Rätsel geblieben.

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es handelt sich hierbei dann wohl um den durchschnittswert nach einem jahr oder?  x ist ja jeweils in Jahren angegeben...

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durchschnittswert nach einem jahr

Nein. Wie oben bereits richtig gesagt

1/10  *  ∫ (0 bis 10) (f(x)) dx

ist der durchschnittliche Funktionswert im Intervall [0 ; 10].

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Mathecoach, sei nicht so streng.

MatheLaunch, du meinst das richtige.
Schau dir einmal unter
https://www.mathelounge.de/13205/wie-hoch-ist-der-durchschnittliche-lagerbestand
die Grafik des durchschnittlichen Lagerbestands
an.
Bei den Füchsen ist es dasselbe
" Durchschnittliche Population "

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Hier die Populationsfunktion in blau.
Rot ist die Durchschnittspopulation

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Danke dir Georgborn.

habs jetzt komplett verstanden

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Man kann oben auch gut sehen das die Flächenbilanz der Flächen die  von der roten und blauen Funktion gebildet werden nahezu 0 ist.

Answer 2

okay die funktion lautet f(x)=4+5*e^(-x) -4*e^(-0,1*x)

Und die Integration dementsprechend: 0∫10 * f(x) *dx
Der Vorfaktor ist 1/10 also 1/10  *  0∫^{10} * f(x) *dx

Nun soll ich die Bedeutung dessen erläutern.

  0∫^{10} * f(x) *dx gibt dir die Gesamtfläche an, die zwischen Kurve, x-Achse, x = 0 und x=10 liegt.

Wenn das durch 10 geteilt wird, hat man den durchschnittlichen Funktionswert im gegebenen Intervall.

D.h. 1/10 ist der Kehrwert der Breite des Intervalls, über das integriert wird.

Plus weitere Interpretationen (vgl. andere Antwort und Kommentare).