Einen zu V isomorphen Vektorraum finden

Question

Aufgabe 10.
Im In-Vektorraum \( F(\mathbb{R}) \) aller Funktionen von \( \mathbb{R} \) nach \( \mathbb{R} \) betrachten wir den von den Funktionen
\( s_{1}=(x \mapsto \sin (x)), s_{2}=(x \mapsto \sin (2 x)), s_{3}=(x \mapsto 2 \sin (x)) \)  \( V=\left\langle s_{1}, s_{2}, s_{3}\right\rangle\) erzeugten Teilraum.
Geben Sie einen zu \( V \) isomorphen \( W \) an, der nicht Teilraum von \( F(\mathbb{R}) \) ist.
(Ohne Beweis.)

Weiß jemand, wie das geht? Die Aufgabe gibt nur 2 Punkte, kann also eigentlich nicht so schwer sein, komme aber trotzdem nicht drauf...

Answer 1

Hallo Mona,

{ s₁ , s₂ } ist linear unabhängig und  { s₁ , s₂ , s₃ } linear abhängig 

→  { s₁ , s₂ } ist eine Basis von V  →  dim(V) = 2

Deshalb ist der reelle Vektorraum ℝ² isomorph zu V

Nachtrag:

INFO:    

 https://users.fmi.uni-jena.de/~matveev/Lehre/LA09_10/vorlesung9.pdf

(Folie 4) 

Gruß Wolfgang

Comments

Stimmt ja, zwei endlich-dimensionale Vektorräume über demselben Körper sind genau dann isomorph, ,wenn sie dieselbe Dimension besitzen. Danke für deine Hilfe!!!

Nur noch eine Frage: Wie beweist man formallogisch korrekt, dass s1, s2 und s3 linear abhängig sind?

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Das erkennt man hier schon daran, dass s₃  ein Vielfaches von s₁ ist.

s₃ = 2 · s₁ + 0 · s₂

  s₃  lässt sich also als Linearkombination von  s₁ und s₂  darstellen.

  →   { s₁ , s₂ , s₃ } ist linear abhängig

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Dass s1 und s2 linear unabhängig sind, habe ich so gezeigt: Seien \(a,b \in K \) mit

\(a \cdot sin(x) + b \cdot sin(2x) = 0 \).

Dies muss für alle x gelten, also auch für x  = π/2. Wir setzen diesen Wert in die Gleichung ein ein und erhalten a = 0. Nun setzen wir noch π/4 in die neue Gleichung mit a = 0 ein, und erhalten b = 0.

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"Das erkennt man hier schon daran, dass s3  ein Vielfaches von s1 ist.

s3 = 2 · s1 + 0 · s2"

Jau, stimmt, danke, sorry, hatte mich verguckt...

Angenommen, es wäre nicht auf den ersten Blick zu erkennen; dann bliebe einem doch eigentlich nur die Möglichkeit ein bisschen mit x herumzuspielen und auszuprobieren, ob es nicht eine nichttriviale Nulldarstellung gibt, oder?

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.. und erhalten = 0.

du meinst "und erhalten b= 0"

Die Begründung ist richtig

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Wenn du eine nichttriviale Nulldarstellung findest, hast du natürlich die lineare Abhängigkeit.

Wenn du keine findest, heißt das aber noch nicht, das es keine gibt.

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Ja, das stimmt. - Angenommen, wir hätten nicht gesehen, dass s3 ein Vielfaches von s1 ist - wie hätten wir dann die lineare Abhängigkeit von s1, s2 und s3 nachweisen können?

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Ah, und danke, dass du mich auf meinen Fehler hingewiesen hast, habe es korrigiert :)