Ableitungsfunktionen analysieren

Question

Aufgabe:

Das Profil einer Böschung wird näherungsweise beschrieben durch die Funktion f mit f(x)= Wurzel x. (Längeneinheit 5m)

An der Böschung soll eine Rampe mit 14° Steigung angebaut werden.

a) Wo beginnt die Rampe auf der Böschung, und wo endet sie im Gelände?

b) Wie lang wird die Rampe?

Problem/Ansatz:

Ich weiß überhaupt nicht wie ich da ansetzen soll bzw. wie ich das berechne.

Answer 1

Das sieht so aus:

Text erkannt:

Gesucht ist eine Gerade mit der Steigung tan(14°)≈0,25 und dann der Punkt, indem f(x)=√x diese Steigung hat. Also f '(x)=tan(14°) nach x auflösen, ergibt x=4 und der gesuchte Punkt ist B(4|2). Punkt-Steigungsform der Geraden: tan(14°)=\( \frac{y-2}{x-4} \). Das ist die Gleichung der Geraden in der Skizze oben.

Comments

Vielen Dank, ich werde versuchen die Schritte nach zuvollziehen

---

Vielen Dank, ich werde versuchen die Schritte nach zuvollziehen, aber wie löse ich nach x auf? Und was genau ist denn y ??

---

f(x)=√x. Dann ist f '(x)=\( \frac{1}{2√x} \).

Es soll gelten tan(14°)=\( \frac{1}{2√x} \) also 1/4=\( \frac{1}{2√x} \) oder 4=2√x. Das heißt x=4. Dieses in f(x)=√x eingesetzt, führt zu f(4)=2. Also ist (4|2) der Punkt, in dem die Tangente (Rampe) den Graphen von f(x)=√x (Böschung) berührt.

Punkt und Steigung in die Punkt-Steigungs-Form eingesetzt, ergibt die Gleichung der Rampe.

Answer 2

f(x)= Wurzel x. (Längeneinheit 5 m)
An der Böschung soll eine Rampe mit 14° Steigung angebaut werden.
a) Wo beginnt die Rampe auf der Böschung, und wo endet sie im Gelände?
f ( x ) = √ x
f ´( x ) = 1 / ( 2 * √ x )
Der Berührpunkt Funktion / Rampe ist bei 14 °
1 / ( 2 * √ x ) = tan ( 14 )
x = 4.02 m

f ( 4.02 ) = 2.01 m
( x | y )
B ( 4.02 | 2.01 )

Tangentengleichung
y = m * x + b
2.01 = tan ( 14 ) * 4.02 + b
b = 1.00
t:= 0.24933 * x + 1
0.24933 * x + 1 = 0
x = - 4.02 m

So ganz blicke ich noch nicht durch.
Ich will jetzt aber erst einmal Mittagessen.



b) Wie lang wird die Rampe?

Answer 3

So sieht die Böschung aus:

Das Brett der Rampe liegt jetzt irgendwo auf der Böschung auf, was eine Tangente der Funktion hier sein wird.
Die Steigung der Rampe ist 14°. Die Steigung der Tangente kannst du mit
 tan(α)= m berechnen. 
Dann gilt es den zu finden, an dem die Rampe aufliegt. 
Der Wert der Ableitung an einer Stelle beschreibt nämlich die Steigung der Funktion.
Diese muss gleich der Steigung der Tangente sein.
Du setzt also f'(x)= m . und löst nach x auf.

Comments

Und wie löst man bei f'(x)=m nach x auf??

---

m = \( \frac{1}{2*√x} \) I *√x

 √x*m = 1/2 I : m   

√x = \( \frac{1}{2*m} \)  I  ²

x = (\( \frac{1}{2*m} \))²