Gleichgewichtsverteilung?

Question

hab ein kleines mit der Gleichgewichtsverteilung.

Die Ausgangssituation lautet wie folgt: Bei einer früheren Studie bei Erwachsenen wurde neben den Rauchern und Nichtrauchern auch die Gelegenheitsraucher erfasst. Zu einer passenden Startverteilung y = (R) 

                    (G)
                    (N)
                  (Vektor = 3x1)

ergibt  sich mit der Übergangsmatrix
                B = (0,7 0,4 0,15)
                    (0,05 0,5 0,3)   
                    (0,25 0,1 0,55)
                  (Matrix = 3x3)
ein Übergangsprozesss zwischen den Zuständen R, G und N, der ein Jahr modelliert.

Aufgabe : Bei einer weiteren  - rein theoretischen Untersuchung - geht man davon aus, dass die Nichtraucher immer Nichtraucher bleiben.
Weisen Sie rechnerisch nach, dass dieser modifizierte Übergangsprozess genau eine Gleichgewichtsverteilung von insgesamt 100 % hat und bestimmen Sie diese.
Interpretieren Sie Ihre Lösung im gegebenen Sachzusammenhang.

Ich habe mehrmals versucht diese Aufgabe zu lösen, aber ich bekomms nicht hin. Ich wäre für jede Hilfe sehr dankbar :)

Comments

"Bei einer weiteren  (...) Untersuchung" bedeutet, du benötigst eine veränderte Matrix. "[Man geht] davon aus, dass die Nichtraucher immer Nichtraucher bleiben" muss sich auf die dritte Spalte der Matrix B auswirken. Hast du das berücksichtigt?

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Jo habe ich, der Nachweis fiel mir nur schwer, dass dort die stabile Grenzverteilung ist.

Answer 1

Die neue Übergangsmatrix sieht wie folgt aus.

B* = (0,7 0,4 0)
        (0,05 0,5 0) 
        (0,25 0,1 1)

Dort gibt es die stabile Grenzverteuilung das die ganze Population Nichtraucher sind.

Das wäre jetzt nur noch rechnerisch nachzuweisen. Das ist aber nicht so aufwendig oder?

Comments

Danke dir, auf diese neue Übergangsmatrix kam ich zwar auch schon , aber ich hatte Probleme nachzuweisen, dass dort die stabile Grenzverteilung ist.

Sry bin eine komplette Matheniete. Also es wäre echt cool wenn du mir das auch noch zeigen könntest.

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Für die stabile grenzverteilung muss gelten

[0.7, 0.4, 0; 0.05, 0.5, 0; 0.25, 0.1, 1]·[x; y; z] = [x; y; z]

0.7·x + 0.4·y = x --> y = 0.75·x
0.05·x + 0.5·y = y --> y = 0.1·x
0.25·x + 0.1·y + z = z

Welche Lösung hätten die beiden ersten beiden Gleichungen? Nur x = y = 0 oder?

Damit ist dann auch automatisch die dritte Gleichung erfüllt.

Also lautet die Grenzverteilung [0; 0; 1].

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Danke für deine Antwort, aber ich weiß immer noch nicht so ganz warum die Grenzverteilung [= 0:0:1] sein muss und wie du darauf kommst. Also was heißt eigentlich stabile Grenzverteilung ? Also zwar weiß ich es grob, aber sicher bin ich mir nicht.

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Die Grenzverteilung ist ein Vektor der bei der Multiplikation mit der Matrix nicht verändert wird. Damit gilt

M * v = v

Man spricht hier auch von einem Fixvektor.

Die Matrix M ist bei dir die Matrix B*. Da man den Fixvektor nicht kennt ist das erstmal nur [x; y; z]. Das setzt man in die Gleichung ein und erhält ein lineares Gleichungssystem welches zu lösen ist. Wie gesagt ergibt sich beim Lösen x = y = 0. Da für einen Verteilungsvektor weiterhin x + y + z = 1 gelten muss, muss hier zwangsweise z = 1 gelten. Damit hat man den Fixvektor und damit die stabile Grenzverteilung.

Mach die Probe indem du B* mit diesem Grenzvektor multiplizierst. Du wirst erkennen das als Ergebnis wieder der Grenzvektor heraus kommt.

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Ich danke dir, hab es soweit verstanden. Nur noch ne kurze Frage zum LGS . Du hattest ja beim vorherigen Kommentar diesen Ansatz gehabt:

" 0.7·x + 0.4·y = x → y = 0.75·x
0.05·x + 0.5·y = y → y = 0.1·x
0.25·x + 0.1·y + z = z "

Wie kann ich mit diesem Ansatz die Werte für die Variablen ausrechnen. Ich meine wir haben als  ersten v-Vekor nur variablen und für den Vektor hinter dem Gleichheitszeichen auch nur Variablen.

Außerdem noch , könnte man mit disem Ansatz auch die Grenzverteilung ausrechnen.

(M-E) * x = 0-Vektor ??

Echt kompliziert und Sry :/

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(M-E) * x = 0

Ja das ist der gleiche Ansatz, nur umgeformt.

M * v = v
M * v - v = 0
M * v - E * v = 0
(M - E) * v = 0

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Wie kann ich mit diesem Ansatz die Werte für die Variablen ausrechnen.

Löse die erste und zweite Gleichung nach y auf und nutze das Gleichsetzungsverfahren.

0.7·x + 0.4·y = x → y = 0.75·x
0.05·x + 0.5·y = y → y = 0.1·x
0.25·x + 0.1·y + z = z

0.75·x = 0.1·x → x = 0

y = 0.75·0 = 0

Damit hat man bereits x und y mit 0 heraus.

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Ok, Perfekt danke, habe jetzt verstanden wie man x und y herausbekommt.

und Für z muss man ja einfach dann für x und y in der folgenden Gleichung einsetzen:

0,25 *x + 0,1*y+z = z

0,25 * 0 + 0,1*0 + z = z

z=z   / -z

0 = 0

ist damit bewiesen, dass z = 1 ist?

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Damit kann z irgendein Wert sein. Allerdings muss z = 1 sein wenn der Vektor ein Verteilungsvektor ist. Weil die Summe aller Komponenten eben 1 = 100% sein muss.

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Vielen Dank :)