Übergangsmatrix und Gleichgewichtsverteilung bestimmen

Question

Jedes Molekül eines Gases 5 wechselt von Minute zu Minute zufällig zwischen Schwingungszuständen 1, 2, 3 und 4 wie in dem Prozessdiagramm aus Fig. 1 angegeben.
Stellen Sie die Übergangsmatrix auf und bestimmen Sie eine Gleichgewichtsverteilung

Answer 1

Hi, die Übergangsmatrix sieht folgendermaßen aus $$ A=\left(  \begin{matrix} 0.8 & 0 & 0 & 0.3 \\ 0.2 & 0.7 & 0 & 0 \\ 0 & 0.3 & 0.6 & 0 \\ 0 & 0 & 0.4 & 0.7 \end{matrix}  \right) $$ Die Summe in den Spalten muss jeweils 1 ergeben. Die i-te Spalte beschreibt das Verhalten des i-ten Zustands. Also z.B. Spalte 2 beschreibt, das von Zustand 2 nicht nach Zustand 1 gewechselt werden kann, weil an der 1-ten Stelle der Spalte 2 eine 0 steht. Man bleibt mit Wahrscheinlichkeit 0.7 im Zustand 2 und wechselt mit Wahrscheinlichkeit 0.3 von Zustand 3 in den Zustand 3. Das kann man auf die anderen Spalten ebenso übertragen. Rechnerisch kann man das auch überprüfen. Sei $$  x= \left(  \begin{matrix}  0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right) $$ der Anfangszustand, d.h. man befindet mit 100%-tiger Wahrscheinlichkeit im Zustand 2. \( A \cdot x \) gbt jetzt an, mit welchen Wahrscheinlichkeiten man in die Folgezustände wechselt. Laut Deinem Diagram bleibt man mit 70%-tiger Wahrscheinlichkeit im Zustand 2 und wechselt mit 30%-tiger Wahrscheinlichkeit in den Zustand 3. D.h. das Ergebnis von \( A \cdot x \) mus $$ x= \left(  \begin{matrix}  0 \\ 0.7 \\ 0.3 \\ 0 \end{matrix} \right) $$ sein, was man durch nachrechnen leicht bestätigt.

Den Gleichgewichtszustannd berechnet man, indem man \( A^n \) berechnet, mit einem so großen n, s.d. \( A^n \) konstant wird. In Deinem Fall ergibt sich durch suksessive Multiplikation $$ A^n=\left( \begin{matrix} 0.353 & 0.353 & 0.353 & 0.353 \\ 0.235 & 0.235 & 0.235 & 0.235 \\ 0.176 & 0.176 & 0.176 & 0.176 \\ 0.235 & 0.235 & 0.235 & 0.235 &  \end{matrix} \right) $$ z.B. für n=100. Damit ist der Gleichgewichtszustand $$ \left( \begin{matrix} 0.353 \\ 0.235 \\ 0.176 \\ 0.235  \end{matrix} \right) $$

Answer 2

Ich stelle die Matrix mal als Tabelle auf

0.8	0	0	0.3
0.2	0.7	0	0
0	0.3	0.6	0
0	0	0.4	0.7

 

M = [0.8, 0, 0, 0.3; 0.2, 0.7, 0, 0; 0, 0.3, 0.6, 0; 0, 0, 0.4, 0.7]

Für die Grenzverteilung gilt

M * v = v

[0.8, 0, 0, 0.3; 0.2, 0.7, 0, 0; 0, 0.3, 0.6, 0; 0, 0, 0.4, 0.7]·[a; b; c; d] = [a; b; c; d]

Das LGS hat die Lösung a = 1.5·d ∧ b = d ∧ c = 0.75·d ∧ d = d

Mit a + b + c + d = 1 bzw. 1.5·d + d + 0.75d + d = 1 ergibt sich d = 4/17

Eine Grenzverteilung ist also

[1.5·4/17; 4/17; 0.75·4/17; 4/17] = [6/17; 4/17; 3/17; 4/17]