Aloha :)
Du musst nachweisen, dass alle Eigenschaften eines Skalarproduktes erfüllt sind. Hier kannst du dazu die Eigenschaften des Integrals ausnutzen.
1.) Symmetrie$$\langle f|g\rangle=\int\limits_0^1f(t)\cdot g(t)\,dt=\int\limits_0^1g(t)\cdot f(t)\,dt=\langle g|f\rangle\quad\checkmark$$2.) Linearität in beiden Argumenten
Wegen der bereits gezeigten Symmetrie reicht es aus, wenn wir die Linearität bezüglich des ersten Argumentes nachweisen.$$\langle f_1+f_2|g\rangle=\int\limits_0^1(f_1(t)+f_2(t))\cdot g(t)\,dt=\int\limits_0^1f_1(t)\cdot g(t)+\int\limits_0^1f_2(t)\cdot g(t)\,dt$$$$\phantom{\langle f_1+f_2|g\rangle}=\langle f_1|g\rangle+\langle f_2|g\rangle\quad\checkmark$$$$\langle \lambda\cdot f|g\rangle=\int\limits_0^1(\lambda\cdot f(t))\cdot g(t)\,dt=\lambda\int\limits_0^1f(t)\cdot g(t)=\lambda\cdot\langle f|g\rangle\quad\text{mit}\quad\lambda\in\mathbb{R}\quad\checkmark$$
3.) Positive Definitheit
Hier nutzen wir aus, dass wir uns im Vektorraum der Polynome vom Grad \(\le1\) befinden und setzen in das Integral \(f(t)=a+bt\) ein.
$$\langle f|f\rangle=\int\limits_0^1f(t)\cdot f(t)\,dt=\int\limits_0^1\left[f(t)\right]^2\,dt=\int\limits_0^1\left(a+bt\right)^2\,dt=\left[\frac{(a+bt)^3}{3b}\right]_{t=0}^1$$$$\phantom{\langle f|f\rangle}=\frac{(a+b)^3}{3b}-\frac{a^3}{3b}=\frac{a^3+3a^2b+3ab^2+b^3}{3b}-\frac{a^3}{3b}=\frac{3a^2b+3ab^2+b^3}{3b}$$$$\phantom{\langle f|f\rangle}=\frac{3b\left(a^2+ab+\frac{b^2}{3}\right)}{3b}=a^2+ab+\frac{b^2}{3}=a^2+ab+\underbrace{\frac{b^2}{4}-\frac{b^2}{4}}_{=0}+\frac{b^2}{3}$$$$\phantom{\langle f|f\rangle}=\left(a^2+ab+\frac{b^2}{4}\right)-\frac{3b^2}{12}+\frac{4b^2}{12}=\left(a+\frac{b}{2}\right)^2+\frac{b^2}{12}\ge0$$Wir müssen noch zeigen, dass \(\langle f|f\rangle=0\) genau dann gilt, wenn \(f(t)=0\) ist:
$$f(t)=0\;\;\Rightarrow\;\;a=0\;\land\;b=0\;\;\Rightarrow\;\;\langle f|f\rangle=0$$$$\langle f|f\rangle=0\;\;\Rightarrow\;\;\left(a+\frac{b}{2}\right)^2+\frac{b^2}{12}=0\;\;\Rightarrow\;\;a=0\;\land\;b=0\;\;\Rightarrow\;\;f(t)=0$$Beachte, dass die beiden quadratischen Terme immer \(\ge0\) sind. Damit die Summe \(=0\) ist, müssen also \(\frac{b^2}{12}=0\) und \(\left(a+\frac{b}{2}\right)^2=0\) sein. Aus der ersten Bedingung folgt \(b=0\) und damit folgt dann aus der zweiten Bedingung auch \(a=0\). Damit haben wir gezeigt:
$$\langle f|f\rangle\ge 0\quad\land\quad\langle f|f\rangle=0\;\Leftrightarrow\;f(t)=0\quad\checkmark$$
